Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Ex 16.3
प्रश्न 1.
दो थैले I वे II दिए गए है। थैले I में 3 लाल और 4 काली गेंदें है जबकि II थैले में 5 लाल और 6 काली गेंदे है। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जोकि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि यह गेंद II थैले से निकाली गई है ?
हल :
माना थैले I का E1 से तथा थैले II को E2 से निरूपित किया गया है और लाल रंग की गेंद निकालने की घटना को A से निरूपित करते हैं, तब
प्रश्न 2.
एक डॉक्टर को एक रोगी को देखने आना है। पहले के अनुभवों से यह ज्ञात है कि उसके ट्रेन, बस, या अन्य किसी वाहन से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः [latex]\frac { 3 }{ 10 } ,\frac { 1 }{ 5 } ,\frac { 1 }{ 10 } [/latex] या [latex]\frac { 2 }{ 5 }[/latex] है। यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः [latex]\frac { 1 }{ 4 } ,\frac { 1 }{ 3 } [/latex] या [latex]\frac { 1 }{ 12 }[/latex] है परन्तु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया, तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
माना “डॉक्टर के रोगी के यहाँ देर से आने की घटना E है।
यदि डॉक्टर ट्रेन, बस, स्कूटर या अन्य किसी वाहन से आने की घटनायें . क्रमश: T1, T2, T3 और T4 है तो
अतः डॉक्टर के ट्रेन द्वारा आने पर देर से पहुँचने की प्रायिकता
(अन्य वाहन से आने पर देर नहीं होती है)।
अतः बेज प्रमेय द्वारा
डॉक्टर द्वारा देर से आने पर ट्रेन द्वारा आने की प्रायिकता
प्रश्न 3.
प्रथम थैले में 3 लाल और 4 काली गेंदे है तथा द्वितीय थैले में 4 लाल और 5 काली गेंद हैं। एक गेंद प्रथम थैले से द्वितीय थैले से द्वितीय थैले में स्थानांतरित की जाती है और तब एक गेंद को द्वितीय थैले से निकाला जाता है। निकाली गई गेंद लाल रंग की प्राप्त होती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि स्थानांतरित गेंद काली है ?
हल :
थैला एक में 3 लाल तथा 4 काली गेंद हैं।
थैला दूसरे में 4 लाल तथा 5 काली गेंद है।
माना घटनायें E1 = थैला एक में से लाल गेंद निकाली गई।
E2 = थैला दूसरे में से काली गेंद निकाली गई।
एक गेंद स्थानान्तरित करने के बाद दूसरे थैले में से
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।
प्रश्न 4.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंद है और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदे है। इन दोनों थैले में से एक थैले को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जोकि लाल है। इस बात की प्रायिकता है कि गंद पहले थैले से निकाली गई है ?
हल :
माना पहले थैले को चुनने की घटना को E1 से और दूसरे थैले को चुनने की घटना को E2 से व्यक्त करते हैं।
लाल गेंद निकालने की घटना को A से दर्शाते हैं।
∴ एक थैले को चुनने की प्रायिकता = [latex]\frac { 1 }{ 2 }[/latex]
प्रश्न 5.
तीन सिक्के दिये गये हैं एक सिक्के के दोनों ओर चित्त है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित्त 75% बार प्रकट होता है। और तीसरा सिक्का अनभिनत है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया। यदि सिक्के पर चित्त प्रकट हो तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह दोनों ओर चित्त वाला सिक्का है ?
हल :
तीनों सिक्कों में से एक सिक्का चुनने की प्रायिकता = [latex]\frac { 1 }{ 3 }[/latex]
यदि तीनों सिक्कों की घटनायें E1, E2 तथा E3 हैं। और चित्त आने की घटना A है।
प्रश्न 6.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत सूचना देता है यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्ति बताता है। यदि किसी जनसंख्या में 0.1% व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त है तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है ?
हल :
मानो घटनायें E1 = रोग से ग्रस्त रोगी
E2 = रोग से ग्रस्त नहीं रोगी
A = रक्त की जाँच की गई
∴ रोग से ग्रस्त रोगी व्यक्ति की प्रायिकता
कोई यदृच्छया चुना गया व्यक्ति रोग से ग्रस्त होता। यदि रक्त की जाँच में रोग पाये जाने की प्रायिकता
प्रश्न 7.
यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते है। पूर्ववर्ती वर्ष से परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% तथा छात्रावास में नहीं रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है ?
हल :
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की E1 और E2 हैं।
अतः छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता
प्रश्न 8.
एक बीमा कंपनी ने 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा किया। स्कुटर चालक, कर चालक तथा ट्रक चालक के दुर्घटना होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01 व 0.15 है। बीमित व्यक्तियों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है ?
हल :
माना “स्कूटर चालक का बीमा होना” की घटना = E1
“कार चालक का बीमा होना” की घटना = E2
तथा “ट्रक चालक की बीमा होना” की घटना = E3
∵ बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों तथा 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
∴ कुल चालकों की संख्या = 2000 + 4000 + 6000
= 12000
स्कूटर चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। माना कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर ज्ञात होने की प्रायिकता [latex]\frac { 3 }{ 4 }[/latex] तथा अनुमान लगाने की प्रायिकता [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] है। यह मानते हुए कि विद्यार्थी के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता [latex]\frac { 1 }{ 4 }[/latex] है, इस बात की क्या प्रायिकता है कि विद्यार्थी प्रश्न का उत्तर जनता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है ?
हल :
माना “विद्यार्थी उत्तर जानता है घटना E1 से तथा विद्यार्थी अनुमान लगाता है” घटना E2 से निरूपित की गई है।
प्रश्न 10.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छया चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता है? यह मानते हुए कि पुरुषों तथा महिलाओं की संख्या समान है।
हल :
दिया है :
महिलाओं और पुरुषों की संख्या समान है।
माना घटनाएँ E1 = पुरुषों का होना ।
E2 = महिलाओं का होना
A = सफेद बाल होना
प्रश्न 11.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में है। पहले तथा दुसरे दल के जीतने की प्रायिकताओं क्रमशः 0.6 व 0.4 है। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। प्रायिकता ज्ञात करो कि नया उत्पाद दूसरे दल द्वारा प्रारंभ किया गया था।
हल :
माना घटनायें
E1 = पहले दल की जीत
E2 = दूसरे दल क जीत
= पहला दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा।
= दूसरा दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा।
दिया है : पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E1) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E2) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता
अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किये जाने की प्रायिकता
प्रश्न 12.
माना कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 का अंक प्राप्त होता है तो वह सिक्के का तीन बार उछालती है। और चितों की संख्या नोट करती है यदि उसे 1, 2, 3 या 4 का अंक प्राप्त होता है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती हैं कि उस पर चित्त या पक्ष प्राप्त हुआ। यदि उसे तथ्यतः एक चित्त प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गये पसे पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है ?
हल :
एक पासे को उछालने से 6(1, 2, 3, 4, 5, 6) परिणाम प्राप्त होते हैं।
माना घटनाएं E1 = 5 या 6 का प्राप्त होना
E2 = 1, 2, 3, 4 का प्राप्त होना
A = सिक्का उछालने का चित्त प्राप्त होना।
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है तब वह सिक्का तीन बार उछालती
(HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT)
एक चित्त प्राप्त होने के तरीके (HTT, THT, TTH) यानी तीन तरीके। एक चित्त प्राप्त होने की प्रायिकता
जब वह 1, 2, 3, 4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के की एक बार उछालती है।
यदि उसे ठीक एक चित्त प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गये। पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता
प्रश्न 13.
52 पत्तों की एक भाँति फैंटी गई गड्डी में एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं नो ईंट के पत्ते है। खो गये पत्ते के ईट का पत्ता होने की क्या प्रायिकता है?
हल :
माना घटनायें E1 = खोया हुआ पत्ता ईंट का है।
E2 = खोयो पत्ता ईंट का नहीं है।
यहाँ 52 पत्तों की गड्डी में 13 पत्ते ईंट के हैं।
(i) जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो तब 5 (पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जायेंगे।
यहाँ A खो गये पत्तों को प्रदर्शित करता है।
(ii) जब ईंट के पत्ते खोए नहीं है तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं।
∴ दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता
प्रश्न 14.
एक थैले में 3 लाल और 7 काली गेंदे है। एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के दो गेंदो का यादृच्छया चयन किया गया है। यदि द्वितीय चयनित गेंद लाल प्राप्त हो तो क्या प्रायिकता है कि प्रथम चयनित गेंद भी लाल है ?
हल :
माना A = पहली बार में लाल गेंद आने की घटना
और B = दूसरी बार में लाल गेंद आने की घटना
तब P(A∩B) = P( 1 लाल और 1 लाल गेंद)
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