Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 16 प्रायिकता एांव प्रायिकता बंटन Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
दो घटनाएँ A तथा B परस्पर स्वतंत्र कहलाती है यदि
(a) P(P(A)) = P(B)
(b) P(A) + P(B) = 1
(c) P(\(\overline { A } \overline { B } \)) = [1 – P(A)] [1 – P(B)]
(d) A और B परस्पर अपवर्जी है।
हल :
उत्तर (c) सही है क्योंकि
दिया है A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
अतः P(A) = 1 – P(\(\overline { A } \))
तथा P(B) = 1 – P(\(\overline { B } \))
∵ P(\(\overline { A } \overline { B } \)) = P(\(\overline { A } \)) x P(\(\overline { B } \))
= [1 – P(A)][1 – P(B)]
प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को उछालने पर प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य अंक प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है ?
हल :
एक पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
दूसरे पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
अतः पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या 2 आने की प्रायिकता
अत: विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 3.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ है कि A⊂B तथा P(B) ≠ 0 तब निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है।
हल :
∵ A⊂C = A∩B
= P(A ∩ B)
= P(A)
प्रश्न 4.
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते यादृच्छया निकाले जाते हैं। माना यादृच्छिक चर X, इक्कों की संख्या को निरूपति करता है, तब X का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
ताश की एक गड्डी में से यदृच्छया दो पत्ते खीचे जाते हैं।
दोनों पत्त इक्के न होने की कुल विधियाँ
अतः सही विकल्प (iv) है।
प्रश्न 5.
एक यादृच्छिक चर X मान 0, 1, 2, 3 ग्रहण करता है। चर X का माध्य 1.3 हैं। यदि P(x = 3) = 2P(X = 1) तथा P(X = 2) = 0.3 हो, तो P(X = 0) है।
(i) 0.2
(ii) 0.4
(iii) 0.3
(iv) 0.1
हल :
माना P(X = 3) = 2p(X = 1) = p
अतः p(X = 0) = x हैं।
बारम्बारता बंटन इस प्रकार होगा।
⇒ 1.3 = 0 + p + 0.6 + 6p
⇒ 7p + 0.6 = 1.3
⇒ 7p = 1.3 – 0.6
⇒ 7p = 0.7
⇒ p = \(\frac { 0.7 }{ 7 }\) = 0.1
चूँकि x + 2 + 0.3 + 2p = 1
∴ x = 1 – 0.3 – 3 x 0.1
= 1 – 0.6
= 0.4
∴ P(X = 0) = x = 0.4
अतः सही विकल्प (ii) है।
प्रश्न 6.
एक छात्रा के धावक होने की प्रायिकता है। 5 छात्राओं में से 4 छात्राओं की धावक होने की प्रायिकता है :
हल :
एक छात्रा के धावक होने की प्रायिकता = \(\frac { 4 }{ 5 }\)
∴ एक छात्रा के धावक न होने की प्रायिकता = \(1-\frac { 4 }{ 5 }\)
= \(\frac { 1 }{ 5 }\)
∴ छात्राओं के धावक होने की प्रायिकता बंटन
∴ 4 छात्राओं के धावक होने की प्रायिकता
अत: सही विकल्प (iii) है।
प्रश्न 7.
एक बक्से में 100 वस्तुएँ है जिसमें से 10 खराब हैं। 5 वस्तुओं के नमूने में से, किसी भी वस्तु के खराब नहीं होने का प्रायिकता
हल :
बक्से में वस्तुओं की संख्या = 100
खराब चीजों की संख्या = 10
∴ चीजों खराब होने की प्रायिकता = \(\frac { 10 }{ 100 }\)
= \(\frac { 1 }{ 10 }\)
∴ चीजे खराब न होने की प्रायिकता = \(1-\frac { 1 }{ 10 }\)
= \(\frac { 9 }{ 10 }\)
∴ 5 वस्तुओं के नमूने में से किसी भी वस्तु के खराब न होने की प्रायिकता
अतः सही विकल्प (iv) है।
प्रश्न 8.
एक दंपति के दो बच्चे है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) दोनों बच्चे लड़के है, यदि यह ज्ञात है कि बड़ा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चे लड़कियाँ है, यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
(iii) दोनों बच्चे लड़के है, यदि यह ज्ञात है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है।
हल :
(i) S= {MM, MF, FM, FF} = 4
A = दोनों बच्चे लड़के हैं।
= {M, M}
B = बड़ा बच्चा लड़का है।
= {MM, MF}
∴ A∩B = {M, M}
(ii) माना A = दोनों बच्चे लड़की हैं।
= {FF}
(iii) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं।
= {MM}
B = कम से कम एक बच्चा लड़का है।
= {MF, FM, MM}
∴ A∩M = {MM}
प्रश्न 9.
1 से 11 तक के पूर्णाकों में से यादृच्छया दो पूर्णाकों को चुना गया है। दोनों पूर्णाकों के विषय होने की प्रायिकता ज्ञात करो यदि यह ज्ञात है कि दोनों प्रर्णाकों का योग सम है।
हल :
1 से 11 तक की संख्याओं में 3 सम संख्यायें तथा 6 विषम संख्यायें हैं।
माना A = 1 से 11 तक पूर्णांकों में दो विषय संख्यायें चुनने की । घटना
B = दो संख्यायें चुनने की घटना जिनका योग सम हो
प्रश्न 10.
एक आण्विक संरचना के दो सहायक निकाय A तथा B है। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात है –
P(A का असफल होना) = 0.2
P(केवल B का असफल होना) = 0.15
P(A तथा B का असफल होना) = 0.15
(i) A के असफल होने की प्रायिकता जबकि B असफल हो चुका हो।
(ii) केवल A के असफल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
माना घटनाएँ A असफल तथा B असफल क्रमशः \(\overline { A } \) और \(\overline { B } \) से प्रदर्शित हैं। तब हम पाते हैं कि = 0.2 तथा P(A तथा B सफल)
प्रश्न 11.
माना A तथा B दो स्वतन्त्र घटनाएँ है। इन दोनों घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता है \(\frac { 1 }{ 8 }\) तथा नहीं घटित होने की प्रायिकता \(\frac { 3 }{ 8 }\) है।
P(A) तथा P(B) ज्ञात कीजिए।
हल :
माना P(A) = x
और P(B) = y
दिया है : A और B स्वतंत्र घटनायें हैं अतः
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
8(x – x²) – 1 + x = 3x
8x – 8x² – 1 + x = 3x
8x² – 6x + 1 = 0
8x² – 4x – 2x + 1 = 0
4x(2x – 1) – 1(2x – 1) = 0
(2x – 1) (4x – 1) = 0
2x – 1 = 0
प्रश्न 12.
अनिल 60% स्थितियों में सत्य कहता है तथा आनन्द 90% स्थितियों में सत्य कहता है। किसी कथन पर उनके एक दुसरे से विरोधाभासी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ
प्रश्न 13.
तीन व्यक्ति A, B वे C बारी-बारी से एक सिक्का उछालत है। जिसके पहले चित आता है वही जीतता है। यह मानते हुए कि खेल अनिश्चित काल तक जारी रहता है। यदि A खेलना आरंभ करता हो तो उनकी जीत की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
एक सिक्के को उडालने पर चित्त आने की सम्भावना = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
∵ A खेलना प्रारम्भ करता है अतः A क्रमश: पहले, चौथे, साँतवे………..उछाल पर जीत सकता है।
अतः A के जीतने की सम्भावनायें
प्रश्न 14.
अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता है तथा उकसी पत्नि के उन्हीं 25 वर्षों जीवित रहने की प्रायिकता \(\frac { 3 }{ 4 }\) है। प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए जबकि
(i) दोनों 25 वर्ष तक जीवित रहे।
(ii) दोनों में से कम से कम एक 25 वर्षों तक जीवित रहे।
(iii) केवल पत्नि 25 वर्ष तक जीवित रहे।
हल :
माना व्यक्ति के 25 साल तक जीवित रहने की घटना A तथा पत्नी के 25 साल तक जीवित रहने की घटना B है।
अतः स्पष्ट है कि दोनों घटनायें स्वतंत्र हैं।
अत: (i) दोनों के 25 वर्ष तक जीवित रहने की प्रायिकता
= P(A ∩ B)
∵ P(A ∩ B) = P(A).P(B)
(ii) कम से कम एक के 25 साल तक जीवित रहने की प्रायिकता
(iii) केवल पत्नी के जिन्दा होने की प्रायिकता
प्रश्न 15.
बच्चों के तीन समूहों में क्रमशः 3 लड़की और 1 लड़का, 2 लड़कियाँ और 2 लड़के तथा 1 लड़की और 3 लड़के हैं। प्रत्येक समूह में से यादृच्छया एक बच्चे का चयन किया जाता है। इस प्रकार चुने गए तीनों बच्चों में 1 लड़की तथा 2 लड़कों के होने कि प्रायिकता ज्ञात करो।
हल :
माना बच्चों के तीन समूह क्रमशः A, B और C हैं। अतः एक लड़की तथा 2 लड़के यादृच्छया निम्न तरीकों से चुने जा सकते हैं :
(i) समूह A से एक लड़का, समूह B से एक लड़का तथा समूह C से एक लड़की।
अतः इस घटना की प्रायिकता
(ii) समूह A से 1 लड़का, समूह B से एक लड़की और समूह C से 1 लड़का।
अतः इस घटना की प्रायिकता
(iii) समूह A से 1 लड़की, समूह B से एक लड़का और समूह C से 1 लड़का।
अतः इस घटना की प्रायिकता
अतः अभीष्ट प्रायिकता
प्रश्न 16.
प्रथम थैले में 3 काली और 4 सफेद गेंदे है जबकि द्वितीय थैले में 3 सफेद गेंद है। एक अनमिनत पासे को उछाला जाता है। यदि पासे पर 1 या 3 का अंक प्रकट होता है तब प्रथम थैले में से एक गेंद निकाली जाती है तथा यदि अन्य अंक प्रकट होता है। तब द्वितीय थैले में से एक गेंद निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात करो।।
हल :
पहले थैले में गेंदों की कुल संख्या 3 + 4 = 7, जिनमें 3 काली तथा 4 सफेद हैं।
तथा दूसरे थैले में गेंदों की कुल संख्या 4 + 3 = 7, जिनमें 4 काली तथा 3 सफेद हैं।
पास को उछालने पर कुल परिणाम
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
माना अंक 1 तथा 3 आने की घटना = E1
तब, P(E1) = \(\frac { 2 }{ 6 }\)
तथा अंक 2, 4, 5, 6 आने की घटना = E2
तब, P(E2) = \(\frac { 4 }{ 6 }\)
माना काली गेंदे आने की घटना B है तब
प्रश्न 17.
किसी व्यक्ति ने एक निर्माण कार्य का ठेका लिया हैं वहाँ हड़ताल होने की प्रायिकता 0.65 है। हड़ताल न होने तथा हड़ताल होने की स्थितियों में निर्माण के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.80 तथा 0.32 है। निर्माण कार्य के समयानुसार पूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
हड़ताल होने की प्रायिकता P(A) = 0.65
हड़ताल न होने की प्रायिकता = 1 – 0.65 = 0.35
माना E समय पर कार्य समाप्त होने की घटना है तब
हड़ताल होने की स्थिति में कार्य पूर्ण होने की प्रायिकता
\(P\left( \frac { E }{ A } \right) =0.32\)
तथा हड़ताल न होने की स्थिति में कार्य पूर्ण होने की प्रायिकता
\(P\left( \frac { E }{ \overline { A } } \right) =0.80\)
निर्माण कार्य के समायनुसार पूर्ण होने की प्रायिकता
= 0.65 x 0.32 + 0.35 x 0.80
= 0.208 + 0.280
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0:488 है।
प्रश्न 18.
प्रथम थैले में 8 सफेद तथा 7 काली गेंद है जबकि द्वितीय थैले में 5 सफेद और 4 काली गेंदे है। प्रथम थैले में से एक गेंद का यादृच्छया चयन किया जाता है और उसे द्वितीय थैले की गेंदों के साथ मिला दिया जाता है। तब इसमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद सफेद है।
हल :
दिया है : I में 8 सफेद और 7 काली तथा II में 5 सफेद और 4 काली गेंद है।
एक गेंद यादृच्छया पहले थैले में दूसरे में रखी जाती है।
अतः एक सम्भावना यह है कि I में से निकाली गेंद माना सफेद
तो I थैले में से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = \(\frac { 8 }{ 15 }\)
अब II थैले में सफेद गेंदों की संख्या = 5 + 1 = 6
अतः II में से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = \(\frac { 6 }{ 10 }\)
अतः जब ये दोनों घटना साथ-साथ होती है तो
प्रायिकता
दूसरी संभावना यह है कि थैले में से काली गेंद निकाली गई है
तो I थैले में से काली गेंद चुनने की प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 15 }\)
अब II थैले में काली गेंद की संख्या = 4 + 1 = 5
अत: सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 10 }\)
दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता
∵ दोनों घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अत: केवल एक ही घटना हो सकती है।
अतः अभीष्ट प्रायिकता
प्रश्न 19.
एक परीक्षा में एक बहुविकल्पीय प्रश्न जिसके चार विकल्प है का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो अनुमान लगाता है या नकल करता है या प्रश्न का उत्तर जानता है। विद्यार्थी के द्वारा अनुमान लगाने तथा नकल करने की प्रायिकता क्रमशः 1/3 व 1/16 हैं। उसके द्वारा सही उत्तर दिए जाने की प्रायिकता 1/8 है। जबकि यह ज्ञात है कि उसने नकल की है। विद्यार्थी के द्वारा यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है।
हल :
विद्यार्थी के द्वारा अनुमान लगाने की प्रायिकता,
P(A) = \(\frac { 1 }{ 3 }\)
तथा विद्यार्थी के द्वारा नकल करने की प्रायिकता
P(B) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
विद्यार्थी के द्वारा उत्तर जानने की प्रायिकता,
माना E उत्तर के सही होने की घटना है तब
विद्यार्थी के द्वारा प्रश्न का उत्तर जानने की प्रायिकता जबकि उसने उत्तर दिया है।
प्रश्न 20.
एक पत्र दो शहरों TATANAGAR या CALCUTTA में से किसी एक शहर से आया हुआ है। पत्र के लिफाफे पर केवल दो क्रमागत अक्षर TA दिखाई देते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्र
(i) CALCUTTA
(ii) TATANAGAR से आया हुआ है।
हल :
माना E1 = पत्र Calcutta से आने की घटना
E2 = पत्र Tatanagar से आने की घटना
A = दो क्रमशः लिखे अक्षर TA लिफाफे पर होने की घटना
प्रश्न 21.
एक निर्माता के पास तीन यन्त्र संचालक A, 1% त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करता है, जबकि अन्य दो संचालक B तथा C क्रमशः 5% तथा 7% टिपूर्ण वस्तुएँ उत्पादित करता है। A कार्य पर कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लागत है। यदि एक त्रुटिपूर्ण वस्तु उत्पादित है तो इस की क्या प्रायिकता है यह यंत्र A से उत्पादित है ?
हल :
माना E1 = मशीन A द्वारा उत्पादित सामग्री,
E2 = मशीन B द्वारा उत्पादित सामग्री,
E3 = मशीन C द्वारा उत्पादित सामग्री,
तो E1, E2 तथा E3 परस्पर अपवर्जी तथा असंयुक्त घटनाएँ हैं।
प्रश्न 22.
किसी यादृच्छिक चर X का प्रायकिता बंटन P(X) निम्न है।
(i) k का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) P(X < 2), P(X ≤ 2) तथा (X ≥ 2) का मान ज्ञात करो।
हल :
‘X’ का प्रायिकता बंटन प्रश्नानुसार
प्रश्न 23.
एक यादृच्छिक चर X सभी ऋणेतर पूर्णांक मान ग्रहण कर सकता है तथा चर X की मान r के ग्रहण करने की प्रायिकता के समानुपाती है जहाँ 0 < ∝ < 1 तब P(X = 0) ज्ञात कीजिए। हल :
दिया है
प्रश्न 24.
माना X एक यादृच्छिक चर है जो मान x1, x2, x3, x4, इस प्रकार ग्रहण करता है कि
2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4)
चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : 2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4)
अतः माना
2P(X = x1) = 3P(X = x2) = 4P(X = x3) = 5P(X = x4) = k
प्रश्न 25.
एक न्याय्य सिक्के को एक चित्त अथवा पाँच पट तक उछाला जाता है। यदि x सिक्के की उछालों की संख्या को निरूपित करता हो तो X का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : x सिक्के की उछालों की संख्या सिक्के को एक चित्त या पाँच पर आने तक उछाला जाता है। अतः स्पष्ट है कि X = 1 पर यदि चित्त आता है तो उछाल बन्द कर दी जायेगी और यदि पट आता है तो दूसरी बार उछाला जायेगा। अतः स्पष्ट है कि यह क्रिया अधिकाधिक 5 पट आने की तक होगी।
∴ X के मान 1, 2, 3, 4 होंगे।
S = H, TH, TTH, TTTH या TTTTH
अतः पहली उछाल पर चित्त या पट आने की प्रायिकता
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