RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम वृत्तीय फलन Ex 2.1

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Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम वृत्तीय फलन Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के मुख्य मान ज्ञात कीजिए:

हल :
(i) sin^-1 (1)
sin^-1 की मुख्य मान शाखा $\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right]$ है।
माना sin^-1(1) = x
⇒ sin x = 1

(ii) cos^-1 $\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right)$
cos^-1 की मुख्य मान शाखा [0, π] है।
माना cos^-1 $\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right)$ = x

(iii) sec^-1 (-√2)
sec^-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] – $\left\{ \frac { \pi }{ 2 } \right\}$ है।

(iv) cosec^-1 (-1)
cosec^-1 की मुख्य मान शाखा $\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right]$ – {0} है।
माना cosec^-1(-1) = x

(v) cot^-1 $\left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right)$
cot^-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] है।

(vi) tan^-1 $\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \right)$
tan^-1 की मुख्य मान शाखा $\left[ -\frac { \pi }{ 2 } ,\frac { \pi }{ 2 } \right]$ है।

प्रश्न 2.

हल :
LHS

इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.

हल :
LHS

इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.

हल :
LHS

इति सिद्धम्।

प्रश्न 5.
sec² (tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 15
हल :
माना tan^-12 = θ ⇒ tan θ = 2
∴ sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (2)² = 1 + 4 = 5
∴ sec²(tan^-12) = 5 …(i)
माना cot^-13 = Φ
⇒ cot Φ = 3
∴ cosec² Φ = 1 + cot² Φ
= 1 + (3)² = 1 + 9 = 10
∴ cosec²(cot^-13) = 10 …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर
sec²(tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 5 + 10
sec² (tan^-12) + cosec² (cot^-13) = 15.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.

हल :
(i) 2 tan^-1x = sin^-1 $\frac { 2x }{ 1+{ x }^{ 2 } }$
माना tan^-1 x = θ
∴ x = tan θ

इति सिद्धम्।

प्रश्न 7.

हल :
LHS

= tan^-1 (0)
= tan^-1 (π)
= π
= RHS
इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.

हल :
माना tan^-1 x = θ
x = tan θ

इति सिद्धम्।

प्रश्न 9.
यदि cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² + x² + 2xyz = 1.
हल :
∵ cos^-1x + cos^-1y + cos^-1z = π
⇒ cos^-1x + cos^-1y = π – cos^-1z
⇒ cos^-1 [xy – √1 – x² √1 – y²] = cos^-1(-z)
⇒ [∵ cos^-1x + cos^-1y = cos^-1 [xy – √1 – x² √1 – x²] तथा (cos^-1(-x) = π – cos^-1x)
⇒ xy – √1 – x² √1 – x² = (- z)
⇒ xy + z = √1 – x² √1 – x²
⇒ (xy + z)² = (1 – x²)(1 – y²)
⇒ x²y² + z² + 2xyz = 1 – y² – x² + x²y²
⇒ z² + 2xyz = 1 – y² – x²
⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1
इति सिद्धम्।

प्रश्न 10.
यदि sin^-1 + x + sin^-1 y + sin^-1 z = π, तो सिद्ध कीजिए कि $x\sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } +y\sqrt { 1-y^{ 2 } } +z\sqrt { 1-{ z }^{ 2 } } =2xyz$ .
हल :
माना
sin^-1 x = A ∴ x = sin A
sin^-1 y = B ∴ y = sin B
sin^-1 z = C ∴ z = sin C
∴ sin^-1x + sin^-1y + sin^-1z = π
A + B + C = π

⇒ $\frac { 1 }{ 2 }$ [2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C]
⇒ sin (A + B) cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin (π – C) cos (A – B) + sin cos C
⇒ sin C cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin ( [cos (A – B) + cos {π – (A + B)}]
⇒ sin ( [cos (A – B) – cos (A + B)]
⇒ sin ( [2 sin A sin B]
[∵ cos C – cos D = 2sin $\frac { C+D }{ 2 }$ sin $\frac { D-C }{ 2 }$ ]
= 2 sin A sin B sin C
= 2 xyz
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
यदि tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = $\frac { \pi }{ 2 }$ , तो सिद्ध कीजिए कि xy + yz + zx = 1.
हल :
प्रश्नानुसार
tan^-1x + tan^-1y + tan^-1z = $\frac { \pi }{ 2 }$

⇒ 1 - xy - yz - zx = 0
⇒ xy + yz + zx = 1
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
माना x = tanA, y = tanB, z = tanC

⇒ x + y = -2(1 - xy) = -z + xyz
x + y + z = xyz.
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
यदि

तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
प्रश्नानुसार

x + y + z - xyz = 0
x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 x + cot^-1 (x + 1) = tan^-1 (x² + x + 1)
हल :
LHS
= tan^-1 x + cot^-1 (x + 1)

= tan^-1 (x² + x + 1)
= RHS
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 15.
यदि tan^-1x, tan^-1y, tan^-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध कीजिए कि y² (x + z) + 2y(1 - xz) - x - z = 0
हल :
tan^-1x, tan^-1y, tan^-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हैं, अतः

⇒ (z + x) (1 - y²) = 2y (1 - zx)
⇒ z + x - y²(x + z) = 2y (1 - xz)
⇒ y²(x + 2) + 2y (1 - xz) - x - z = 0
इति सिद्धम्।।

प्रश्न 16.
यदि x³ + px² + qx + p = 0 के मूल α, β, γ हो, तो सिद्ध कीजिए कि एक विशेष परिस्थिति के अलावा tan^-1 α + tan^-1 β + tan^-1 γ = nπ और वह विशेष स्थिति भी ज्ञात कीजिए जब ऐसा नहीं होता है।
हल :
दिया है :
α, β, γ समीकरण : x³ + px² + qx + p = 0 के मूल हैं; अत:

= tan^-1 (0) [∵ α + β + γ = αβγ = -p]
= nπ
= RHS

प्रश्न 17.

हल :

प्रश्न 18.

हल :

प्रश्न 19.

हल :

⇒ x(3x² - 7x - 6) =0
⇒ x(3x² - 9x + 2x - 6) = 0
⇒ x[3x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ x(x - 3)(3x + 2) = 0
⇒ x = 0, x = 3, x = $-\frac { 2 }{ 3 }$

प्रश्न 20.

हल :

प्रश्न 21.

हल :

⇒ 2x - 1 = 2 + x
⇒ 2x - x = 2 + 1
⇒ x = 3

प्रश्न 22.

हल :

⇒ 3 + x = 3x - 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

प्रश्न 23.
sin 2 (cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)} = 0
हल :
दी गई समीकरण है
sin 2 [cos^-1 {cot (2 tan^-1 x)}] = 0

⇒ $\sqrt { { 6x }^{ 2 }-1-{ x }^{ 4 } } \sqrt { { -2x }^{ 2 }+{ x }^{ 4 }+1 } =0$
⇒ (6x² - 1 - x⁴) (x⁴ - 2x² + 1) = 0
⇒ 6x² - 1 - x⁴ = 0 ....(1)
⇒ x⁴ - 2x² + 1 = 0 ...(2)
समीकरण (1) से,
⇒ 6x² - 1 - x⁴ = 0
⇒ x⁴ - 6x² + 1 = 0
⇒ x⁴ - 2 x 3x² + (3)² - 8 = 0
⇒ (x² - 3)² = 8
⇒ x² - 3 = ± 2√2
⇒ x² = 3 ± 2√2
⇒ x² = 1 + 2 ± 2√2
⇒ x² = (1)² + (√2)² ± 2√2
⇒ x² = (1±√2)²
⇒ x = ± (1+√2)
समीकरण (2) से
⇒ x⁴ - 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² - 2x² + (1)² = 0
⇒ (x² - 1)² = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1

प्रश्न 24.

हल :

प्रश्न 25.
sin^-1x - sin^-1y = $\frac { 2\pi }{ 3 }$ ; cos^-1x - cos^-1y = $\frac { \pi }{ 3 }$
हल :
प्रश्नानुसार,
sin^-1x - sin^-1y = $\frac { 2\pi }{ 3 }$ ...(i)
cos^-1x - cos^-1y = $\frac { \pi }{ 3 }$ ....(ii)

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