RBSE Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम वृत्तीय फलन Ex 2.1 is part of RBSE Solutions for Class 12 Maths. Here we have given Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम वृत्तीय फलन Exercise 2.1.
Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 2 प्रतिलोम वृत्तीय फलन Ex 2.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों के मुख्य मान ज्ञात कीजिए:
हल :
(i) sin-1 (1)
sin-1 की मुख्य मान शाखा है।
माना sin-1 (1) = x
⇒ sin x = 1
(ii) cos-1
cos-1 की मुख्य मान शाखा [0, π] है।
माना cos-1 = x
(iii) sec-1 (-√2)
sec-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] – है।
(iv) cosec-1 (-1)
cosec-1 की मुख्य मान शाखा – {0} है।
माना cosec-1 (-1) = x
(v) cot-1
cot-1 का मुख्य मान शाखा [0, π] है।
(vi) tan-1
tan-1 की मुख्य मान शाखा है।
प्रश्न 2.
हल :
इति सिद्धम्।
प्रश्न 3.
हल :
इति सिद्धम्।
प्रश्न 4.
हल :
LHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
sec² (tan-12) + cosec² (cot-13) = 15
हल :
माना tan-12 = θ ⇒ tan θ = 2
∴ sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + (2)² = 1 + 4 = 5
∴ sec²(tan-12) = 5 …(i)
माना cot-13 = Φ
⇒ cot Φ = 3
∴ cosec² Φ = 1 + cot² Φ
= 1 + (3)² = 1 + 9 = 10
∴ cosec²(cot-13) = 10 …(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर
sec²(tan-12) + cosec² (cot-13) = 5 + 10
sec² (tan-12) + cosec² (cot-13) = 15.
इति सिद्धम्
प्रश्न 6.
हल :
(i) 2 tan-1x = sin-1
माना tan-1 x = θ
∴ x = tan θ
इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
हल :
= tan-1 (0)
= tan-1 (π)
= π
= RHS
इति सिद्धम्।
प्रश्न 8.
हल :
माना tan-1 x = θ
x = tan θ
प्रश्न 9.
यदि cos-1x + cos-1y + cos-1z = π, तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² + x² + 2xyz = 1.
हल :
∵ cos-1x + cos-1y + cos-1z = π
⇒ cos-1x + cos-1y = π – cos-1z
⇒ cos-1 [xy – √1 – x² √1 – y²] = cos-1(-z)
⇒ [∵ cos-1x + cos-1y = cos-1 [xy – √1 – x² √1 – x²] तथा (cos-1(-x) = π – cos-1x)
⇒ xy – √1 – x² √1 – x² = (- z)
⇒ xy + z = √1 – x² √1 – x²
⇒ (xy + z)² = (1 – x²)(1 – y²)
⇒ x²y² + z² + 2xyz = 1 – y² – x² + x²y²
⇒ z² + 2xyz = 1 – y² – x²
⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1
इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
यदि sin-1 + x + sin-1 y + sin-1 z = π, तो सिद्ध कीजिए कि .
हल :
माना
sin-1 x = A ∴ x = sin A
sin-1 y = B ∴ y = sin B
sin-1 z = C ∴ z = sin C
∴ sin-1 x + sin-1 y + sin-1 z = π
A + B + C = π
⇒ [2 sin (A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C]
⇒ sin (A + B) cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin (π – C) cos (A – B) + sin cos C
⇒ sin C cos (A – B) + sin C cos C
⇒ sin ( [cos (A – B) + cos {π – (A + B)}]
⇒ sin ( [cos (A – B) – cos (A + B)]
⇒ sin ( [2 sin A sin B]
[∵ cos C – cos D = 2sinsin
]
= 2 sin A sin B sin C
= 2 xyz
= R.H.S.
इति सिद्धम्
प्रश्न 11.
यदि tan-1x + tan-1y + tan-1z = , तो सिद्ध कीजिए कि xy + yz + zx = 1.
हल :
प्रश्नानुसार
tan-1x + tan-1y + tan-1z =
⇒ 1 - xy - yz - zx = 0
⇒ xy + yz + zx = 1
इति सिद्धम्
प्रश्न 12.
हल :
माना x = tanA, y = tanB, z = tanC
⇒ x + y = -2(1 - xy) = -z + xyz
x + y + z = xyz.
इति सिद्धम्
प्रश्न 13.
यदि
तो सिद्ध कीजिए कि x + y + z = xyz.
हल :
प्रश्नानुसार
x + y + z - xyz = 0
x + y + z = xyz
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि
tan-1 x + cot-1 (x + 1) = tan-1 (x² + x + 1)
हल :
LHS
= tan-1 x + cot-1 (x + 1)
= tan-1 (x² + x + 1)
= RHS
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 15.
यदि tan-1x, tan-1y, tan-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हो, तो सिद्ध कीजिए कि y² (x + z) + 2y(1 - xz) - x - z = 0
हल :
tan-1x, tan-1y, tan-1z, समान्तर श्रेढ़ी में हैं, अतः
⇒ (z + x) (1 - y²) = 2y (1 - zx)
⇒ z + x - y²(x + z) = 2y (1 - xz)
⇒ y²(x + 2) + 2y (1 - xz) - x - z = 0
इति सिद्धम्।।
प्रश्न 16.
यदि x3 + px2 + qx + p = 0 के मूल α, β, γ हो, तो सिद्ध कीजिए कि एक विशेष परिस्थिति के अलावा tan-1 α + tan-1 β + tan-1 γ = nπ और वह विशेष स्थिति भी ज्ञात कीजिए जब ऐसा नहीं होता है।
हल :
दिया है :
α, β, γ समीकरण : x3 + px2 + qx + p = 0 के मूल हैं; अत:
= tan-1 (0) [∵ α + β + γ = αβγ = -p]
= nπ
= RHS
प्रश्न 17.
हल :
⇒ x² = a²b²
⇒ x = ± ab.
प्रश्न 18.
हल :
प्रश्न 19.
⇒ x(3x² - 7x - 6) =0
⇒ x(3x² - 9x + 2x - 6) = 0
⇒ x[3x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒ x(x - 3)(3x + 2) = 0
⇒ x = 0, x = 3, x =
प्रश्न 20.
हल :
प्रश्न 21.
हल :
⇒ 2x - 1 = 2 + x
⇒ 2x - x = 2 + 1
⇒ x = 3
प्रश्न 22.
हल :
⇒ 3 + x = 3x - 1
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2
प्रश्न 23.
sin 2 (cos-1 {cot (2 tan-1 x)} = 0
हल :
दी गई समीकरण है
sin 2 [cos-1 {cot (2 tan-1 x)}] = 0
⇒
⇒ (6x² - 1 - x4) (x4 - 2x² + 1) = 0
⇒ 6x² - 1 - x4 = 0 ....(1)
⇒ x4 - 2x² + 1 = 0 ...(2)
समीकरण (1) से,
⇒ 6x² - 1 - x4 = 0
⇒ x4 - 6x² + 1 = 0
⇒ x4 - 2 x 3x² + (3)² - 8 = 0
⇒ (x² - 3)² = 8
⇒ x² - 3 = ± 2√2
⇒ x² = 3 ± 2√2
⇒ x² = 1 + 2 ± 2√2
⇒ x² = (1)² + (√2)² ± 2√2
⇒ x² = (1±√2)²
⇒ x = ± (1+√2)
समीकरण (2) से
⇒ x4 - 2x² + 1 = 0
⇒ (x²)² - 2x² + (1)² = 0
⇒ (x² - 1)² = 0
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1
प्रश्न 24.
हल :
प्रश्न 25.
sin-1x - sin-1y = ; cos-1x - cos-1y =
हल :
प्रश्नानुसार,
sin-1x - sin-1y = ...(i)
cos-1x - cos-1y = ....(ii)
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