Rajasthan Board RBSE Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Miscellaneous Exercise
प्रश्न 1.
यदि आव्यूह
हो, तो A² ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 2.
यदि
हो, तो (A – 2I). (A – 3I) ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 3.
यदि
हो, तो AB ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 4.
यदि
हो, तो BA ज्ञात कीजिए जहाँ i = √-1
हल :
दिया है,
प्रश्न 5.
यदि
तथा
हो, तो आव्यूह A तथा B ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है,
(i) और (ii) को जोड़ने पर
(i) और (ii) को घटाने पर
प्रश्न 6.
यदि
हो, तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
हल :
हल : संगत अवयवों की तुलना करने पर
x + 2 = – 2
∴ x = – 4
– y – x = 5 ⇒ y = – x – 5 = – (-4) – 5
= 4 – 5 = -1
अतः = – 4, y = – 1
प्रश्न 7.
आव्यूह A का क्रम 3 x 4 है तथा B इस प्रकार का आव्यूह है कि AT B एवं ABT दोनों ही परिभाषित है तो B का क्रम लिखिए।
हल :
∴ A का क्रम 3 x 4 है।
∴ AT का क्रम 4 x 3 होगा
परन्तु ATB तथा ABT परिभाषित है
अत: B का क्रम भी 3 x 4 ही होगा।
प्रश्न 8.
यदि
एक सममित आव्यूह है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
एक सममित आव्यूह है,
अत: aij = aji, की तुलना करने पर
a32 = a23 ⇒ – x = 4
∴ x = – 4
प्रश्न 9.
एक 3 x 3 क्रम को आव्यूह B = [bij] लिखिए जिनके अवयव bij = (i) (j) हैं।
हल :
B11 = 1 x 1 = 1
B12 = 1 x 2 = 2
B13 = 1 x 3 = 3
B21 = 2 x 1 = 2.
B22 = 2 x 1 = 4.
B23 = 2 x 3 = 6
B31 = 3 x 1 = 3
B32 = 3 x 2 = 6
B33 = 3 x 3 = 9
प्रश्न 10.
यदि
तथा
तो A + BT ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 11.
आव्यूह A को सममित व विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ
है।
हल :
प्रश्न 12.
यदि
हो तो सिद्ध कीजिए ।
(i) (AT)T = A
(ii) A + AT एक सममित आव्यूह है।
(ii) A – AT एक विषम सममित आव्यूह है।
(iv) AAT तथा ATA सममित आव्यूह है।
हल :
(i) (AT)T = A
इति सिद्धम्।
(ii) A + AT एक सममित आव्यूह है।
अत: A + AT एक सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम्।
(iii)
अत: A – AT सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम
(iv)
अत: AT A सममित आव्यूह है।
इति सिद्धम
प्रश्न 13.
यदि
तथा 3A – 2B + C एक अशून्य आव्यूह है तो आव्यूह C लिखिए।
हल :
अतः 3A – 2B + C = 0
∴ C = 2B – 3A + 0
प्रश्न 14.
एक 2×3 क्रम का आव्यूह B= |bij| लिखिए जिसके अवयव है,
हल :
दिया है, B = [bij] जिसके अवयव हैं।
प्रश्न 15.
यदि
हों, तो ABC का प्रथम पंक्ति के अवयव ज्ञात कीजिए।
हल :
अतः पहली पंक्ति का अवयव 8 है।
प्रश्न 16.
यदि आव्यूह
हो तो AAT ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 17.
यदि
तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 18.
यदि
हो तो सिद्ध कीजिए कि
B² – (a + d)B = (bc – ad)I2, जहाँ
हल :
दिया है,
= (bc – ad)I2
= R.H.S.
इति सिद्धम्।
प्रश्न 19.
यदि
हो तो (aA + bB) (aA – bB) को आव्यूह के रूप में ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 20.
यदि
हो, तो सिद्ध कीजिए कि
(A – B)² ≠ A² – 2AB + B².
हल :
दिया है,
A² – 2AB + B²
= A . A – 2 . A . B + B . B
समीकरण (i) और (ii) से
(A – B)² ≠ A² – 2AB + B².
इति सिद्धम्।
प्रश्न 21.
यदि
तो k का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ A² = kA – 2I2
हल : दिया है,
प्रश्न 22.
यदि
तथा i = √-1 निम्नलिखित सम्बन्धों का सत्यापन कीजिए
(i) A² = B² = C² = I2
(ii) AB = – BA = – C
हल :
प्रश्न 23.
याद
तथा f(A) = A² – 5A + 7I हो, तो f(A) ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि
जबकि α – β = (2m – 1)\(\frac { \pi }{ 2 } \), m∈N
हल :
= cos (α – β) [cos α cos β sin α sin β – cos α cos β sin α sin β]
= cos (α – β) x 0
= 0
= R.H.S.
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