RBSE 10th Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

Students must start practicing the questions from RBSE 10th Maths Model Papers Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi Medium provided here.

RBSE Class 10 Maths Board Model Paper 2022 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए।

(i) परिमेय संख्या \(\frac{129}{2^{5} \times 5^{7} \times 5^{7}}\) का दशमलव प्रसार है | (1)
(अ) सांत
(ब) असांत
(स) असांत आवृत्ति
(द) असांत अनावृत्ति
उत्तरः
(स) असांत आवृत्ति

(ii) निम्न में से एक द्विघात बहुपद नहीं है | (1)
(अ) x²
(ब) x² – 4
(स) x² – 4x + 4
(द) x³ – 3x² + 3x – 1
उत्तरः
(द) x³ – 3x² + 3x – 1

(iii) रैखिक समीकरण युग्म x + y = 4, x – y = 2 के हल है | (1)
(अ) x = 3, x = 1
(ब) x = 1, x = 3
(स) x = y = 2
(द) x = 4, x = 0
उत्तरः
(अ) x = 3, x = 1

(iv) निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण को हल करने की एक विधि है | (1)
(अ) गुणनखण्ड विधि
(ब) पूर्ण वर्ग विधि
(स) द्विघात सूत्र
(द) उपरोक्त सभी
उत्तरः
(द) उपरोक्त सभी

(v) समान्तर श्रेणी 4, 10, 16, 22 ……………. का प्रथम पद और सार्वअन्तर क्या होगा? (1)
(अ) 10, 5.
(ब) 4, 6.
(स) 4, 10
(द) 6, 10
उत्तरः
(ब) 4, 6.

(vi) 3.5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का व्यास होगा | (1)
(अ) 6 सेमी
(ब) 7 सेमी
(स) 8.5 सेमी
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(ब) 7 सेमी

(vii) बिन्दु (-3, 5) कौन से चर्तुथांश में होगा | (1)
(अ) प्रथम
(ब) द्वितीय
(स) तृतीय
(द) चतुर्थ
उत्तरः
(ब) द्वितीय

(viii) tan 45° + cot 45° का मान होगा | (1)
(अ) 1
(ब) 2
(स) 3.
(द) 0
उत्तरः
(ब) 2

(ix) cos (90° – 48°) का मान होगा | (1)
(अ) sec 48°
(ब) tan 48°
(स) sin 48°
(द) cot 48°
उत्तरः
(स) sin 48°

(x) निम्न में से एक माध्य ज्ञात करने का सूत्र नहीं है | (1)
(अ) \(\frac{\sum x}{n}\)
(ब) \(\frac{\Sigma x+a h}{n}\)
(स) \(\frac{\Sigma f x}{N}\)
(द) \(\frac{\Sigma f d}{N}\)
उत्तरः
(ब) \(\frac{\Sigma x+a h}{n}\)

(xi) निम्न का बहुलक ज्ञात करो (1)

(अ) 9.
(ब) 5.
(स) 7
(द) 11
उत्तरः
(स) 7

(xii) निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती (1)
(अ) 2/3
(ब) -1.5
(अ) 15%
(ब) 0.7
उत्तरः
(ब) -1.5

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो –
(i) यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\) a, b, हो तो समीकरण निकाय का हल _______ होता है। (1)
उत्तरः
अनन्त

(ii) स.श्रे. 10, 8, 6, 4 का 7वाँ पद _________ है। (1)
उत्तरः
– 2

(iii) किसी बाहरी बिन्दु से वृत्त पर _________ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है। (1)
उत्तरः
दो

(iv) निर्देशांक ज्यामिति में दो बिन्दुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र _________ है। (1)
उत्तरः
\(\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)

(v) sin (90° – θ) = ___________ (1)
उत्तरः
cos θ

(vi) बंटन 7, 4, 6, 3, 8, 5, 9 की माध्यिका _______ होगी। (1)
उत्तरः
6

प्रश्न 3.
(i) दो संख्याओं का गुणनफल 180 है तथा महत्तम समापवर्तक 3 है तोलघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करो? (1)
उत्तरः
सूत्र दो संख्याओं का गुणफल = दोनों संख्याओं के ल.स. व म.स. का गुणनफल
⇒ 180 = ल.स. × 3
⇒ ल.स. = 180 + 3
= 60

(ii) x² + 3x + 1 को x – 2 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए? (1)
उत्तरः

अतः शेषफल 11 है।

(iii) बहुपद x² – 6x + 7 में शून्यांकों का योग और गुणनफल लिखिए? (1)
उत्तरः
बहुपद x² – 6x + 7 में माना शून्यांक α व β हैं।
α + β = –\(\frac{b}{a}\) (सूत्र)
⇒ α + β =- \(\left(\frac{-6}{1}\right)\) = α + β = 6
तथा αβ = \(\frac{c}{a}\) सूत्र
⇒ αβ = \(\frac{7}{1}\) = 7
अतः शून्यांकों का योग 6 तथा गुणनफल 7 है।

(iv) दो चर वाले समीकरण निकाय का हल अद्वितीय होने की शर्त लिखिए? (1)
हल :
यदि दो समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 है, तो निकाय का हल अद्वितीय होने के लिए आवश्यक शर्त \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) है।

(v) द्विघात समीकरण 2x² + 3x + 4 = 0 में मूलों का योग ज्ञात कीजिए? (1)
हल :
समीकरण 2x² + 3x + 4 = 0 में .
मूलों का योग = \(\frac{-b}{a}=-\frac{3}{2}\)
अतः मूलों का योग –\(\frac{3}{2}\) है।

(vi) द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिये श्री धराचार्य सूत्र लिखिए ? (1)
हल :
श्रीधराचार्य सूत्र
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
जहाँ ax² + bx + c = 0 द्विघात समीकरण है जबकि a ≠ 0

(vii) किसी वृत्त की त्रिज्या और उस पर खींची गई स्पर्श रेखा के मध्य कितने डिग्री का कोण होता है? (1)
हल :
90°

(viii) निर्देशांक (4, 3) में भुज और कोटी ज्ञात कीजिए? (1)
हल :
भुज = 4, कोटि = 3

(ix) मान ज्ञात कीजिए- cos 30° – sin 60° (1)
हल :
cos 30° – sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 0

(x) यदि sin 3x = 1 तो x का मान ज्ञात कीजिए? (1)
हल :
यदि sin 3x = 1 तो sin 3x = sin \(\frac{\pi}{2}\)
= 3x = \(\frac{\pi}{2}\) = x = \(\frac{\pi}{6}\)

(xi) बंटन 10, 12, 8, 7, 13 का माध्य ज्ञात करो? (1)
हल :
बंटन 10, 12, 8, 7, 13 का माध्य
= \(\frac{10+12+8+7+13}{5}=\frac{50}{5}\) = 10

(xii) यदि एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है तो चित और पट आने की संभावना क्या होगी? (1)
हल :
सिक्के को उछालने पर प्राप्त कुल परिणाम S = [H, T] यहाँ n (S) = 2.
n(H) 1 चित आने की प्रायिकता P (H) = \(\frac{n(\mathrm{H})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{2}\)
n(T) 1 तथा पट आने की प्रायिकता P (T) = \(\frac{n(\mathrm{~T})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{2}\)
अत: चित व पट आने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) (प्रत्येक) है।

खण्ड – (ब)

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन विधि द्वारा 90 और 144 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
चरण 1. संख्याएँ 90 और 144 इस प्रकार हैं कि 144 > 90
अतः 144 और 90 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
144 = 90 × 1 + 54

चरण 2. ∵शेषफल 0 नहीं है।
∴ 54 व 90 पर पुनः युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
90 = 54 × 1 + 36

चरण 3. ∵ शेषफल 0 नहीं है।
∴ 36 व 54 पर पुनः युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
54 = 36 × 1 + 18

चरण 4. ∵ शेषफल 0 नहीं है।
∴ 18 व 36 पर पुनः युक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर,
= 18 × 2 +0

∵ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है।
∴ चरण 4 का भाजक 18 है।
अत: 90 व 144 का म.स. 18 है।

प्रश्न 5.
द्विघात बहुपद x² – 2x – 15 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया गया बहुपद x² – 2x – 15 = x² – 2x – 15 = x² – 5x + 3x – 15
= x (x – 5) + 3 (x -5)
= (x – 5) (x + 3)

शून्यक ज्ञात करने के लिए,
(x – 5) (x + 3) = 0
⇒ x – 5 = 0 या x + 3 = 0
⇒ x = 5 या x = – 3
अत: बहुपद के शून्यक 5, -3 हैं।

प्रश्न 6.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए (2)
2x + y = 6 तथा 2x – y = 2
हल :
दिये गये समीकरण
2x + y = 6 …(i)
तथा 2x – y = 2 …(ii)
सीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
⇒ 4x = 8 -x=2

समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर,
2y = 4 ⇒ y = 2

अत: x = 2 मे से y = 2 दिये गये समीकरण युग्म के हल हैं।

प्रश्न 7.
गुणनखण्ड विधि से द्विघात समीकरण 2x² + x – 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया गया द्विघात समीकरण
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x (x + 2)- 3 (x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0.
⇒ x + 2 = 0 या 2x – 3 = 0.
⇒ x = -2 या x = \(\frac{3}{2}\)
अतः दिये गये समीकरण के मूल – 2 व \(\frac{3}{2}\) हैं।

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समांतर श्रेणी में कितने पद है? (2)
7, 13, 19, ………………. 205
हल :
दी गयी समान्तर श्रेणी . .
7, 13, 19, ………………. 205

यहाँ प्रथम पद a = 7
सार्वान्तर d = 13 – 7 = 6
अन्तिम पद l = 205
माना पदों की संख्या n है,
तब सूत्र ! = a + (n – l) d से
⇒ 205 = 7 + (n – 1) 6
⇒ (n- 1) 6 = 205 – 7
⇒ 198 = (n – 1) = 6
⇒ n = 33 + 1 = 34
अत: कुल पदों की संख्या 34 हैं।

प्रश्न 9.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य है? (2)
हल :
तीन अंकों की संख्याओं की सूची इस प्रकार है 100, 101, 102, …….., 999,
3 अंकों की 7 से विभाज्य प्रथम संख्या = 105 और अन्तिम संख्या = 994
तब 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची 105, (105 + 7), (105 + 7 + 7), … 994 = 105, 112, 119, …, 994
माना ऐसी कुल संख्याएँ n हैं।

प्रथम संख्या a = 105, सार्वअन्तर d = 7
∴ nवाँ पद a_n = 994
⇒ a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1) x 7 = 994
⇒ (n-1) x 7 = 994 – 105 = 889
⇒ (n – 1) = \(\frac{889}{7}\) = 127
⇒ n = 127 + 1 = 128
अन: 7 से विभाज्य तीन अंकों वाली संख्याएँ = 128

प्रश्न 10.
5 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 2 : 3 अनुपात में विभाजित कीजिए। (2)
हल :
AP : PB = 2 : 3 होगा।

प्रश्न 11.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। (2)
हल :
दिया है : एक वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 5 सेमी है |

रचना के चरण:

O को केन्द्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा एवं वृत्त का व्यास AB खींचा।
बिन्दु O पर OB त्रिज्या से 60° का कोण बनाती हुई एक रेखा OP खींची जो वृत्त को P बिन्दु पर काटती है।
बिन्दु A पर OA से 90° कोण बनाती हुई स्पर्श रेखा AX खींची।
इसी प्रकार बिन्दु P से स्पर्श रेखा PY खींची।
AX तथा PY एक दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती

अत: PT.और AT वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं जो एक-दूसरे के साथ 60° का कोण बनाती हैं।

प्रश्न 12.
यदि sinA = \(\frac{3}{4}\) हो, तो cos A और tanA का मान परिकलित कीजिए। (2)
हल :

दिया है. sin A = \(\frac{3}{4}=\frac{B C}{A C}\)
चित्र से, AB² = AC² – BC²
= 4² – 3² = 16 – 9 = 7
AB = √7
अत: cos A = \(\frac{A B}{A C}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
तथा tan A = \(\frac{B C}{A B}=\frac{3}{\sqrt{7}}\)

प्रश्न 13.
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° का मान ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
= 2(1)² + \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
= 2 × 1 + \(\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\) = 2.

प्रश्न 14.
निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए। (2)

हल :

अतः समान्तर माध्य
(x̄) = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{4460}{100}\) = 44.60

प्रश्न 15.
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए। (2)

वर्ग अंतराल	छात्रों की संख्या
0 – 20	10
20 – 40	35
40 – 60	52
60 – 80	61
80 – 100	38
100 – 120	20

हल :
बहुलक के लिए, दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 61 है।

इसका संगत वर्ग-अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग = 60 – 80
l = 60, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38, h = 20

प्रश्न 16.
एक थैले में 5 सफेद व 2 लाल गेंदे हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद होगी ? (i) सफेद (ii) लाल (2)
हल :
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 5 + 2 = 7
(i) सफेद गेंद (w) होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ गेंद सफेद होने की प्रायिकता

अतः गेंद सफेद होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{7}\)

(ii) गेंद लाल होने की प्रायिकता

अतः गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{7}\)

खण्ड – (स)

प्रश्न 17.
यदि किसी समांतर श्रेणी के दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 24 तथा 28 हो तो, श्रेणी के पहले 61 पदों का योगफल ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
2 और 101 के मध्य 5 से विभाजित (भाज्य) होने वाली सभी प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नांनुसार, a₂ = 24 व a₃ = 28
तब a_n = a + (n – 1)d (सूत्र)
a₂ = a + d = 24 …(i)
तथा a₃ = a + 2d = 28 …(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,

d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a + 4 = 24
a = 20
अतः a = 20 तथा d = 4
स. श्रे. के 61 पदों का योगफल
S₆₁ = \(\frac{61}{2}\) [2 × 20 + (61 – 1)4] [∵ S = \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1)d)]
= 61 × (40 + 240) = 61 × 280
= 61 × 140 = 8540
अतः 61 पदों का योगफल 8540 है।

अथवा

2 से 101 के मध्य 5 से विभाजित होने वाली संख्याएँ है
5, 10, 15, 20, 25, 30, ….., 100

स्पष्ट है कि उपर्युक्त संख्याएँ समान्तर श्रेणी में हैं।
यहाँ a = 5, d = 5 , a_n = 100
∴ a_n = 100
a + (n – 1) d = 100
a = 100

⇒ 5 + (n – 1) 5 = 100
⇒ (n – 1) = \(\frac{100-5}{5}\)
⇒ n = 19 + 1
⇒ n = 20
∵ हम जानते हैं कि, S_n = \(\frac{n}{2}\) [a + l]
S₂₀ = \(\frac{n}{2}\) [5 +100] = 10 × 105
अतः . S₂₀ = 1050

प्रश्न 18.
X-अक्ष पर वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (-2, 3) और (-3, 4) से समान दूरी पर स्थित है। (3)
अथवा
बिन्दुओं (11, 8) और (1, 3) को मिलाने वाली .. रेखा को बिन्दु (7, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
माना x-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है,
तब बिन्दु (x, 0) व (-2, 3) के बीच की दूरी
= बिन्दु (x, 0) व (-3, 4) के बीच की दूरी

दोनों ओर का वर्ग करने पर
x² + 4x + 13 = x² + 6x + 25
⇒ 6x – 4x = 13 – 25
⇒ 2x = – 12 = x = – 6
अतः अभीष्ट बिन्दु (-6, 0) है।

अथवा

माना दिए हुए बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (7, 6), s : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

आन्तरिक विभाजन के सूत्र से,
x = \(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}\)
⇒ 7 = \(\frac{\lambda \times 1+1 \times 11}{\lambda+1}\)
⇒ 7λ + 7 = λ + 11
⇒ 6λ = 11 –7
⇒ λ = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
∴ λ : 1 = 2 : 3
अतः अभीष्ट अनुपात 2 : 3 है।

प्रश्न 19.
\(5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}\) का मान ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
सिद्ध कीजिए- cos⁴θ + sin⁴θ = 1 – 2 cos²θ sin²θ
हल :

अथवा

L.H.S. = cos⁴θ + sin⁴θ
{(cos²θ)² + (sin²θ)² + 2 sin²θ cos²θ} -2 sin²e cos²θ
= (sin²θ + cos²θ)² – 2 sin²θ cos²θ)
= (1)² – 2 sin²θ cos²θ
= 1 – 2sin²θ cos²θ = R.H.S.

प्रश्न 20.
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए। (3)

अथवा
निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:

समान्तर माध्य (x̄) = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{930}{40}\) = 23.25
अतः अभीष्ट माध्य 23.25 है।

अथवा

∴ यहाँ अधिकतम बारम्बारता 44 है।
∴ बहुलक वर्ग 40 – 55 होगा।
l = 40, f₁ = 44, f₀ = 20, f₂ = 26, h = 15

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए। (4)
3x – 5y = 1 तथा 2x – y = 3
अथवा
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
4x – 5y = 20 तथा 3x + 5y = 15 4
हल :
दिए गए समीकरण युग्म
3x – 5y = 1 …(i)
2x – y = 3 …(ii)
समीकरण (i) से,
3x – 5y = 1
3x = 1 + 5y
⇒ x = \(\frac{1+5 y}{3}\)

y = 1 रखने पर,
x = \(\frac{1+5(1)}{3}=\frac{1+5}{3}=\frac{6}{3}\) = 2

y = 4 रखने पर,
x = \(\frac{1+5(4)}{3}=\frac{1+20}{3}=\frac{21}{3}\) = 7

y = – 2 रखने पर,
x = \(\frac{1+5(-2)}{3}=\frac{1-10}{3}=\frac{-9}{3}\) = -3

सारणी-I

इसी प्रकार समीकरण (ii) से,
2x – y = 3
⇒ y = 2x – 3

x = 0 रखने पर,
y= 2 (0) – 3 = -3

x = 2 रखने पर,
y = 2 (2) – 3 = 4 – 3 = 1

x = 3 रखने पर,
y= 2 (3) – 3 = 6 – 3 = 3

सारणी-II

अब बिन्दुओं (2, 1), (7,4) तथा (-3,-2) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 3x – 5y = 1 का आलेख एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है।

तथा बिन्दुओं (0, -3), (2, 1) तथा (3, 3) का आलेखन कर, मिलाने से समीकरण 2x – y = 3 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

अतः दिए गए समीकरणों का हल है। x = 2, y = 1

अथवा

दिए गए समीकरण युग्म
4x – 5y = 20 ………….(i)
3x + 5y = 15 ………….(ii)
समीकरण (i) से,
4x – 5y = 20
⇒ 4x = 5y + 20
⇒ x = \(\frac{5 y+20}{4}\)

y = 0 के लिए,
x = \(\frac{5(0)+20}{4}=\frac{0+20}{4}\) = 5

y = – 4 के लिए,
x = \(\frac{5(-4)+20}{4}=\frac{-20+20}{4}\) = 0

y= 4 के लिए,
x = \(\frac{5(4)+20}{4}=\frac{20+20}{4}\) = 10

सारणी-I

समीकरण (ii) से,
3x + 5y = 15

⇒ 3x = 15 – 5y
⇒ x = \(\frac{15-5 y}{3}\)
y = 0 के लिए,
x = \(\frac{15-5(0)}{3}=\frac{15-0}{3}\) = 5
y= 3 के लिए,
x = \(\frac{15-5(3)}{3}=\frac{15-15}{3}\) = 0
y = – 3 के लिए,
x = \(\frac{15-5(-3)}{3}=\frac{15+15}{3}\) = 10

सारणी-II

अब बिन्दुओं (5, 0), (0, -4) तथा (10, 4) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 4x – 5y = 20 का आलेख एक सरल रेखा AB प्राप्त होती है। तथा बिन्दुओं (5, 0), (0, 3) तथा (10, -3) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 3x + 5y = 15 का आलेख एक सरल रेखा CD प्राप्त होती है।

अतः दिए गए समीकरणों का हल है x = 5, y = 0

प्रश्न 22.
एक 10 सेमी लम्बाई का रेखाखण्ड खींचकर उसका 2:3 में विभाजन कीजिए।
अथवा
AB = 5 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड खींचिए। बिन्दु B को केन्द्र मानकर 2.2 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाइए तथा इस वृत्त पर बिन्दु A से स्पर्श रेखाएँ खींचिए। .
हल :
दिया है-रेखाखण्ड AB = 10 सेमी

रचना के चरण :

एक रेखाखण्ड AB = 10 सेमी खींचा एवं रेखाखण्ड AB के बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AX खींची।
परकार की सहायता से किरण AX के (2 + 3 = 5) समान भाग किए।

BA₅ को मिलाया। बिन्दु A₂, से BA₅ के समान्तर रेखा PA₂ खींची जो AB को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है। अर्थात् ∠BA₅A = ∠PA₂A बनाया।

तब AP : PB = 2 : 3

अतः रेखा AB के AP व PB अभीष्ट भाग हैं।
औचित्य (आपत्ति) ∆AA₂P तथा ∆AA₅B में
A₂P ∥ A₅B

∴ आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

अतः बिन्दु P, AB को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

अथवा

रचना के चरण :

5 सेमी लम्बाई का रेखाखण्ड AB खींचा।
AB के बिन्दु B से 2.2 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
AB का समद्विभाजक खींचा तथा समद्विभाजक बिन्दु को M द्वारा अंकित किया।
M को केन्द्र मानकर MB त्रिज्या का वृत्त खींचा जो B केन्द्र वाले वृत्त को T₁, तथा T₂, पर काटता है।
AT₁, तथा AT₂, को मिलाया। AT₁, तथा AT₂, अभीष्ट रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : BT₁, तथा BT₂, को मिलाया।
∵ AB, M केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है।
∴ ∠AT₁B = ∠AT₂B = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)
अत: AT₁, तथा AT₂, अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠AT₁B = ∠AT₂B = 90°

प्रश्न 23.
निम्न बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए। (4)

वर्ग	f_i
10 – 25	6
25 – 40	20
40 – 55	44
55 – 70	26
70 – 85	3
85 – 100	1

अथवा
निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक	छात्रों की संख्या
0 – 20	5
20 – 40	10
40 – 60	12
60 – 80	6
80 – 100	3

हल:

यहाँ N = Σf_i = 100
∴ \(\frac{\mathrm{N}}{2}=\frac{100}{2}\) = 50
∴50 से बड़ी संचयी बारम्बारता 70 का वर्गअन्तराल 40 – 55 है।
∴ माध्यक वर्ग = 40 – 55
l = 40, C = 26, f = 44, h = 15