RBSE 10th Maths Model Paper Set 5 with Answers in Hindi

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RBSE Class 10 Maths Board Model Paper Set 5 with Answers in Hindi

समय : 2. 45 घपटे
पूर्णांक : 80 अंक

सामान्य निर्देश :

• सभी प्रश्न करने अनिवार्य हैं।
• जिन प्रश्नों में आन्तरिक खण्ड है उन सभी के उत्तर एक साथ ही लिखें।
• प्रश्न का उत्तर लिखने से पूर्व प्रश्न का क्रमांक अवश्य लिखें।
• प्रश्न संख्या 17 से 23 में आन्तरिक विकल्प दिये गये हैं।
• प्रश्नों का अंकभार निम्नानुसार है।

खण्ड	प्रश्नों की संख्या	अंक प्रत्येक प्रश्न	कुल अंक भार
खण्ड (अ)	1 (i से xii), 2(i से vi), 3(i से xii) = 30	1	30
खण्ड (ब)	4 से 16 = 13	2	26
खण्ड (स)	17 से 20 = 4	3	12
खण्ड (द)	21 से 23 = 3	4	12

खण्ड – (अ)

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रश्नों में से दिये गये सही विकल्प का चयन कर अपनी उत्तर पुस्तिका में लिखिए। (1)

(i) 225 को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है :
(अ) 5 × 3²
(ब) 5² × 3
(स) 5² × 3²
(द) 5 × 3
उत्तरः
(स) 5² × 3²

(ii) ऐसे बहुपद जिनके शून्यक केवल – 3 तथा 4 हैं, की घात है : (1)
(अ) 2
(ब) 1
(स) 3 से अधिक
(द) 3
उत्तरः
(अ) 2

(iii) रैखिक समीकरणों + 7 तथा 9x + 10y = 10 का युग्म : (1)
(अ) संगत है
(ब) असंगत है
(स) संगत है तथा सिर्फ एक हल है
(द) संगत है तथा अनेक हल हैं
उत्तरः
(ब) असंगत है

(iv) यदि द्विघात समीकरण 2x + kx + 2 = 0 के मूल समान हों, तो k का मान है : (1)
(अ) 4
(ब) + 4
(स) – 4
(द) = 0
उत्तरः
(ब) + 4

(v) समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, ….., 185 में कितने पद हैं? (1)
(अ) 31
(ब) 51
(स) 46
(द) 40
उत्तरः
(स) 46

(vi) रेखाखण्ड AB को बिन्दु C किस अनुपात में विभाजित करता है? (1)

(अ) 4 : 5
(ब) 3 : 2
(स) 2 : 3
(द) 2 : 5
उत्तरः
(अ) 4 : 5

(vii) उस बिंदु के निर्देशांक जो बिंदु (-3, 5) का x-अक्ष में प्रक्षेप है | (1)
(अ) (3, 5)
(ब) (3, – 5)
(स) (-3, – 5)
(द) (-3, -5)
उत्तरः
(स) (-3, – 5)

(viii) θ का ऐसा मान जिसके लिए sin(44° + θ) = cos 30° है, होगा- (1)
(अ) 46°
(ब) 60°
(स) 16°
(द) 90°
उत्तरः
(स) 16°

(ix) यदि sin θ – cos θ = 0, तब (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है (1)
(अ) 1
(ब) \(\frac{3}{4}\)
(स) \(\frac{1}{2}\)
(द) \(\frac{1}{4}\)
उत्तरः
(स) \(\frac{1}{2}\)

(x) संचयी बारम्बारता सारणी का उपयोग होता है, ज्ञात करने में (1)
(अ) माध्य
(ब) बहुलक
(स) माध्यक
(द) सभी में।
उत्तरः
(स) माध्यक

(xi) बंटन :

के लिए, माध्यक वर्ग की उपरी सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का अन्तर है (1)
(अ) 0
(ब) 19
(स) 20
(द) 38
उत्तरः
(स) 20

(xii) किसी असम्भव घटना के होने की प्रायिकता है | (1)
(अ) 1
(ब) 19
(स) परिभाषित नहीं
(द) 0
उत्तरः
(द) 0

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति करो

(i) रैखिक समीकरण 4x/3 + 2y = 8 और 2x + 3y = 12 का ________ युग्म है। (1)
उत्तरः
संगत

(ii) यदि किसी समान्तर श्रेणी का सामान्य पद 3n + 5 है तो इसका सार्वअन्तर ________ होगा। (1)
उत्तरः
3

(iii) 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित बिन्दु से वृत पर स्पर्श रेखाओं की लंबाइयों की माप ________ होगी। (1)
उत्तरः
8

(iv) दो बिन्दुओं (2, 3) और (4, 2) के बीच की दूरी ________ होगा। (1)
उत्तरः
√5

(v) यदि sin A = \(\frac{3}{4}\) तो cos A का मान ________ होगी। (1)
उत्तरः
\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

(vi) 2, 3, 4, 5, 6 की माध्यिका ________ होगी। (1)
उत्तरः
4

प्रश्न 3.
(i) 1176 को इसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए। (1)
हल :
दिया गया धनात्मक पूर्णांक 1176 है।
∴ 1176 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7
= 2³× 3 × 7²

(ii) द्विघात बहुपद 5x² – 8x में शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
बहुपद 5x² – 8x या 5x² – 8x + 0, की तुलना ax² + bx + c से करने पर a = 5, b = – 8 तथा c = 0
∴ शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}=\frac{0}{5}\) = 0.

(iii) द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= x(x – 4)+ 2(x – 4)
= (x – 4) (x + 2)
यदि x – 4 = 0 हो, तो x = 4
या फिर x + 2 = 0 हो, तो x = -2
अत: अभीष्ट शून्यक = 4 और -2

(iv) समीकरण निकाय 2x + 4y – 7 = 0 तथा 3x + 6y – 10 = 0 की प्रकृति ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया गया समीकरण निकाय है :
2x + 4y – 7 = 0 ………(i)
3x + 6y – 10 = 0 ………….(ii)
समीकरणों (i) व (ii) से,
a₁ = 2, b₁ = 4, c₁ = – 7
a₂ = 3, b₂ = 6, c₂ = – 10

यहाँ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
तथा \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-10}=\frac{7}{10}\)

अतः \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
अतः दिया गया निकाय असंगत है तथा इसका कोई हल विद्यमान नहीं है।

(v) जाँच कीजिए कि क्या (x + 1)² = 2 (x -3) द्विघात समीकरण है? (1)
हल :
(x + 1)² = 2 (x – 3)
x² + 2x + 1 – 2x + 6 = 0
= x² +7 = 0, जो द्विघातीय समीकरण है।
अतः समीकरण (x+1)² = 2x – 3 एक द्विघातीय समीकरण है।

(vi) एक आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल 528 मीटर है। क्षेत्र की लम्बाई, चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण का निर्धारण कीजिए। (1)
हल :
माना भूखण्ड की चौड़ाई x मीटर है। प्रश्नानुसार
भूखण्ड की लम्बाई = (2 x चौड़ाई) +1
= (2x + 1) मीटर

∴ आयताकार भूखण्ड का क्षेत्रफल
= ल. × चौ. = (2x + 1) × x

∴ 528 वर्ग मीटर = (2x² + x) वर्ग मीटर.
∴ 2x² + x = 528
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण : 2x² + x – 528 = 0

(vii) यदि कोई बिन्दु वृत के अंदर स्थित है, तो इस बिन्दु से होकर जाने वाली वृत की कितनी स्पर्श रेखाएँ होती हैं? (1)
हल :
0

(vii) बिन्दुओं (2, 3) और (4, 1) को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट बिन्दु = \(\left(\frac{2+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right)\)
= \(\left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}\right)\) = (3, 2)

(ix) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° का मान निकालिए : (1)
हल :
sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
= \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\) = 1

(x) यदि sec 44 = cosec (A – 20°), जहाँ 44 एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए। (1)
हल :
दिया है, sec 4A = cosec (A – 20°)
⇒ cosec (90°– 4A) = cosec (A – 20°) [∵ cosec (90° – 6) = sec 6]
⇒ 90° – 4A = A – 20° ⇒ 5A = 110°
A = 22°

(xi) एक गाँव की ढाणी के 25 परिवारों का प्रतिदिन व्यय निम्न बारंबारता बंटन द्वारा दिया गया हैं : (1)

इन परिवारों का माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

समान्तर माध्य (x̄) = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{1240}{25}\)
= 49.60
अतः परिवारों का माध्य व्यय = ₹49.60

(xii) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग लिखिए। (1)
हल :
किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

खण्ड – (ब)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक 3 से विभाज्य है। (2)
हल :
माना कि n, n + 1, n + 2 तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
∴ हम जानते हैं कि n, 3q या 3q + 1 या 3q+ 2 के रूप का होता है।
∴ निम्नलिखित तीन स्थितियाँ सम्भव हैं।

स्थिति 1. जब n = 3q,जो कि 3 से विभाज्य है।
n + 1 = 3q + 1, 3 से विभाज्य नहीं है।
n + 2 = 3q + 2, 3 से विभाज्य नहीं है।
इस स्थिति में n, 3 से विभाज्य है। परन्तु n + 1 और n + 2, 3 से विभाज्य नहीं हैं।

स्थिति 2. जब n = 3q+ 1 इस स्थिति में
n + 2 = 3q + 1 + 2 = 3(q+ 1) जो कि 3 से विभाज्य है परन्तु n तथा n + 1, 3 से विभाज्य नहीं है।

स्थिति 3. जब n = 3q + 2 इस स्थिति में, n + 1 = 3q + 2 + 1 = 3(q + 1), 3 से विभाज्य है परन्तु n या n + 2, 3 से विभाज्य नहीं है।

अत: n, n + 1 तथा n + 2 में से एक 3 से विभाज्य है।

प्रश्न 5.
बहुपद t² – 3 से बहुपद 2t⁴ + 3t³ – 28² – 9t – 12 को भाग करके शेषफल ज्ञात कीजिए। (2)
हल :

अतः शेषफल शून्य है।

प्रश्न 6.
दो संख्याओं का अन्तर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। रैखिक समीकरण युग्म बनाकर हल कीजिए और दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
माना एक संख्या x तथा दूसरी संख्या y है।
एक संख्या दूसरी संख्या की 3 गुनी है।
⇒ x = 3y…….(i)
यहाँ x, y से बड़ा है।

दोनों संख्याओं का अन्तर 26 है।
∴ x – y = 26…(ii)

समीकरण (i) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = \(\frac{26}{2}\) ⇒ y = 13
समीकरण (i) में y = 13 रखने पर,
x = 3 × 13 = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ 39 और 13 हैं।

प्रश्न 7.
पूर्ण वर्ग की विधि से (3x + 2) (2x + 3) = 6 का हल ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दी गई समीकरण है :
(3x + 2) (2x + 3) = 6
= 6x² + 13x + 6 = 6
= 6x² + 13x = 0

‘यहाँ x के दो मान 0 (+ चिह्न लेने पर) तथा –\(\frac{13}{6}\) (- चिह्न लेने पर) प्राप्त होते हैं।
अतः अभीष्ट मूल x = 0 तथा x = -12 हैं।

प्रश्न 8.
ज्ञात कीजिए कि क्या निम्नलिखित स्थिति में सम्बद्ध संख्याएं समान्तर श्रेणी में हैं?
“प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 18 है। (2)
हल :
यदि टैक्सी का पहले किमी का किराया a₁, दूसरे किमी का किराया a₂, तथा nd किमी का किराया a_n, से व्यक्त किया जाए तो प्रश्नानुसार,

‘अब सार्वअन्तर (d)= a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8
और a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8
∴ a₃ – a₂ = a₂ – a₁
अर्थात् सार्वअन्तर समान हैं।
∴ दी गई स्थिति A.P. (समान्तर श्रेणी) के रूप की है।

प्रश्न 9.
जाँच कीजिए कि क्या अनुक्रम 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,… समान्तर श्रेणी में है? (2)
हल :
दिया हुआ अनुक्रम
0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………..
यहाँ a₁ = 0.2, a₂ = 0.22, a₃ = 0.222, a₄ = 0.2222,
दो क्रमागत पदों का अन्तर d :
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002

दो क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं है।
अर्थात् a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂ ≠ a₄ – a₃
अतः दिया गया अनुक्रम A.P. नहीं हैं।

प्रश्न 10.
आधार 5 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए। एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं का \(\frac{2}{3}\) गुना हो। (2)
हल :
रचना के चरण :

• BC = 5 सेमी खींचा।
• BC रेखा का लम्ब समद्विभाजक XY खींचा जो BC को M पर काटता है।
• XM पर MA = 4 सेमी काटा, तब BA और CA को मिलाया जिससे ∆ABC प्राप्त हुआ।
• बिन्दु B पर एक न्यूनकोण बनाया तथा उस पर तीन चाप B₁, B₂, और B₃, बनाए।
• B₃C मिलाया और B₂ से B₃C के समान्तर रेखा खींची जो BC को C” पर काटती है।
• C से AC ∥ AC खींची।
• अतः A’C’B अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 11.
दिए हुए वृत्त के बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखा की रचना कीजिए। जबकि वृत्त का केन्द्र अज्ञात हैं।
हल :
दिया है : एक वृत्त और उसका बाह्य बिन्दु P है। वृत्त का केन्द्र अज्ञात है। (2)

रचना के चरण :

• वृत्त की छेदक रेखा PAB खींची।
• PB को समद्विभाजित किया और इसके मध्य-बिन्दु M से MP = MB त्रिज्या का अर्द्धवृत्त खींचा।
• बिन्दु A पर लम्ब AC खींचा।
• P को केन्द्र मानकर PC त्रिज्या के चाप खींचा जो वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करते.
• PR और PQ को मिलाया। अतः PQ और PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 12.
यदि x = 3 sin θ + 4 cos θ तथा y = 3 cos θ – 4 sin θ है, तो सिद्ध कीजिए : x + y = 25. (2)
हल :
दिया है, x= 3 sin e +4 cose
x² = (3 sin θ + 4 cos θ)²
= 9 sin²θ + 16 cos²θ + 24 sin θ cos θ
तथा y= 3 cos θ – 4 sin θ
y² = (3 cos θ – 4 sin θ)²
= 9 cos²θ + 16 sin²θ – 24 sin θ cos θ

L.H.S = x² + y²
= 9 sin²θ + 16 cos²θ + 24 sin²θ cos²θ + 9 cos²θ + 16 sin²θ – 24 sin θ cos θ
= 25 sinθ + 25 cosθ
= 25(sinθ + cos2θ)
= 25 × 1 = 25 = R.H.S.

प्रश्न 13.
यदि sin (A + 2B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) तथा cos (A+ 4B) = 0 है, जहाँ A तथा B न्यूनकोण हैं, तो A तथा B ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
दिया है,
sin(A + 2B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\),
sin(A + 2B) = sin 60° (:.sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
A + 2B = 60° …(i)
तथा cos(A + 4B) = 0
cos(A + 4B) = cos 90° (∵ cos 90° = 0)
A + 4B = 90° …(ii)

समीकरण (i) व (ii) को हल करने पर,
B = 15° तथा A = 30°

प्रश्न 14.
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए : (2)

हल :
बहुलक के लिए, दिये गये आँकड़ों में अधिकतम बारम्बारता 71 है।
इसका संगत वर्ग-अंतराल 60 – 80 है।
बहुलक वर्ग= 60 – 80
l = 60, f₁ = 71, f₀ = 62, f₂ = 48 h = 20

प्रश्न 15.
गणित विषय की परीक्षा में 10 छात्रों में निम्नलिखित अंक प्राप्त किये
38, 17, 20, 8, 19, 35, 45, 15, 34, 14
प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (2)
हल :
पदों को आरोही क्रम में रखने पर, .. . 8, 14, 15, 17, 19, 20, 34, 35, 38, 45
∵ पदों की संख्या N = 10 है जोकि सम है।
∴ माध्यिका

प्रश्न 16.
एक थैले में 6 लाल और 8 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद लाल हो ? (2)
हल :
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 6 लाल + 8 काली = 14
थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकालने पर,
कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 14.

गेंद लाल (R) होने की घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
गेंद लाल होने क प्रायिकता

अतः गेंद लाल होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{7}\)

खण्ड – (स)

प्रश्न 17.
यदि किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा
योगफल ज्ञात कीजिए : – 5 + (-8) + (-11) + … + (- 230). (3)
हल :
माना समान्तर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।
प्रथम शर्त के अनुसार,
S₇ = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d] = 49
⇒ \(\frac{7}{2}\)[2a + 6d] = 49
⇒ 7(a + 3d) = \(\frac{49}{7}\)
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d ….(1)

दूसरी शर्त के अनुसार,
S₁₇ = 289
⇒ \(\frac{17}{2}\)[2a + (17 – 1)d] = 289
⇒ \(\frac{1}{2}\)[12a + 16d] = 289
⇒ a + 8d = 17
a का मान समीकरण (1) से प्रतिस्थापित करने पर,
= 7 – 3d + 8d = 17
⇒ 5d = 17 – 7 = 10
d = \(\frac{10}{5}\) = 2

d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a = 7 – 3 x 2
= 7 – 6 = 1

अत: a = 1 तथा d = 2
अब Sn = \(\frac{n}{2}\)[24 + (n – 1)d]
= \(\frac{n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) × 2]
= \(\frac{n}{2}\)[2+ 2n – 2]
= \(\frac{n}{2}\) × [2n]
= 1 × 1 = n².
अतः दी गई समान्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग n² है।

प्रश्न 18.
“किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।” इस कथन (परिणाम) का उस त्रिभुज ABC के लिए सत्यापन कीजिए, जिसके शीर्ष (4,-6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं। (3)
अथवा
k के किस मान के लिए (8, 1); (k, – 4); (2, – 5) बिन्दु संरेखी होंगे। (3)
हल :
दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, – 6), B(3, – 2) तथा C(5, 2) हैं।

∵ AD, ∆ABC की माध्यिका है, इसलिए D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) = (4, 0)
∆ADC का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(0 – 2) +4(2+6) + 5(-6-0)]
= \(\frac{1}{2}\)(-8 + 32 – 30)
= \(\frac{1}{2}\) × (-6) =-3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)

∆ABD का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4 (-2 – 0) + 3(0 + 6) + 4 (-6 + 2)]
= \(\frac{1}{2}\)-(-8 + 18 – 16) = \(\frac{1}{2}\)(-6) =-3
= 3 वर्ग इकाई (संख्यात्मक)

क्षेत्रफल (∆ADC) = क्षेत्रफल (∆ABD)
अतः त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।

प्रश्न 19.
यदि A, B तथा C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हों तो दिखाइए कि sin \(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = cos \(\left(\frac{A}{2}\right)\). (3)
अथवा
मान ज्ञात कीजिए : \(\left(\frac{3 \sin 43^{\circ}}{\cos 47^{\circ}}\right)^{2}-\frac{\cos 37^{\circ}{cosec} 53^{\circ}}{\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}}\). (3)
हल :
∵ A + B + C = 180°
∴ B + C = 180° – A

प्रश्न 20.
निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों का माध्य ज्ञात कीजिए। प्रति शिक्षक (3)

अथवा
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। बहुलक साक्षरता दर ज्ञात कीजिए : (3)

हल :
मध्यय के लिए : माना कल्पित माध्य(A) = 27.5 है |

माध्य (x̄) = A + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
= 27.5 + \(\frac{60}{35}\) = 27.5 + 1.7 = 29.2

खण्ड – (द)

प्रश्न 21.
दो रेल पटरियाँ समीकरण 2x + 3y = 12 और 2x +3y = 6 द्वारा निरूपित की गई हैं। इस स्थिति को आलेखीय रूप में व्यक्त कीजिए। (4)
अथवा
5 पेंसिलों और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य₹46 है। ग्राफीय विधि से एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए। (4)
हल :
दिया है : दोनों पटरियों को निम्न समीकरण द्वारा निरूपित किया गया है :
2x + 3y = 12 …(1)
2x + 3y = 6 …(2)

समीकरण (1) से,
2x + 3y = 12
⇒ 3y = 12 – 2x .
⇒ y = \(\frac{12-2 x}{3}\)
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार है

सारणी

समीकरण (2) से,
2x + 3y = 6
⇒ 3y = 6 – 2x
⇒ y = \(\frac{6-2 x}{3}\)
x व y के विभिन्न मानों के लिए सारणी इस प्रकार है

सारणी

अब बिन्दुओं (0, 4), (3, 2), (6, 0) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2r + 3 = 12 का आलेख एक सरल रेखा AR प्राप्त होती है। पुनः बिन्दुओं (3,0), (-3, 4) तथा (-6, 6) का आलेखन कर मिलाने से समीकरण 2x + 3y = 6 का आलेख, सरल रेखा CD प्राप्त होती है। अतः दिये गये समीकरणों के आलेख दो रेखाएँ AB तथा CD हैं जो कि परस्पर समान्तर हैं।

प्रश्न 22.
4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए। (4)
अथवा
त्रिज्या 5 सेमी का वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 13 सेमी दूरी पर स्थित किसी बिन्द से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखाओं की लम्बाई नापिए तथा गणना कीजिए व औचित्य भी दीजिए। (4)
हल :
दिया है : 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु P दिया है।

रचना के चरण:

• 4 सेभी त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
• केन्द्र O से 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु P लिया।
• रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
• बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को T₁, और T₂, बिन्दुओं पर काटता है।
• PT₁, और PT₂, को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) :
∴ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
OT₁, तथा OT₂, को मिलाया, OP वृत्त का व्यास हैं।

∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∴ ∠OT₁P= 90° तथा ∠OT₂P = 90°
∴ OT₁ ⊥ PT₁, तथा OT₂, ⊥ PT₂,
अत: PT₁, तथा PT₂, अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श रेखा की लम्बाई मापने पर,
PT₁ = PT₂ = 4.5 लगभग।

परिकलन : स्पर्श रेखा PT₁

प्रश्न 23.
एक मेडिकल की प्रवेश परीक्षा में 400 विद्यार्थियों के प्राप्तांक निम्न सारणी में दर्शाये गए हैं :

उपर्युक्त बंटन को एक से कम’ प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए। (4)
अथवा
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन को ‘से कम’ प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन में बदलिए और उसका तोरण खींचिए : (4)

हल :
‘से कम’ प्रकार का संचयी बारम्बारता बंटन

(i) बिन्दुओं A (450, 30); B (500, 75); C . (550, 135); D (600, 187); E (650, 241); F (700, 308); G (750, 353) और H (800, 400) को ग्राफ पेपर पर उचित पैमाना मानकर . अंकित किया।

(ii) इन सभी बिन्दुओं को हाथ से जोड़कर ‘से कम प्रकार’ का तोरण खींचा।

अत: ABCDEFG ही अभीष्ट तोरण है।