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RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम श्रेढ़ी तथा श्रेणी

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

June 17, 2019 by Prasanna Leave a Comment

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 1.
श्रेढी -4, -1, + 2, +5,….. का 10वाँ पद है
(A) 23
(B) -23
(C) 32
(D) -32
हल :
(A)

प्रश्न 2.
एक स. श्रे. का 9वाँ पद 35 तथा 19वाँ पद 75 हो, तो इसका 20वाँ पद होगा
(A) 78
(B) 79
(C) 80
(D) 81
हल :
(B)

प्रश्न 3.
श्रेढी 1, 3, 5, ……. के n पदों का योगफल है
(A) (n – 1)²
(B) (n + 1)²
(C) (2n – 1)²
(D) n²
हल :
(D)

प्रश्न 4.
यदि किसी स.श्रे. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 तथा पदों का योगफल 400 हो, तो पदों की संख्या है
(A) 8
(B) 10
(C) 16
(D) 20
हल :
(C)

प्रश्न 5.
यदि किसी स.श्रे. का तीसरा पद 18 तथा सातवाँ पद 30 है, तो उसके प्रथम 17 पदों का योगफल होगा-
(A) 600
(B) 612
(C) 624
(D) 636
हल :
(B)

प्रश्न 6.
यदि (x + 1), 3x, (4x + 2) स.श्रे. में हो, तो इस श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद होगा
(A) 14
(B) 19
(C) 24
(D) 28
हल :
(C)

प्रश्न 7.
a, b, c स.श्रे. में हैं। a तथा b का स.मा. x, b तथा c का स.मा. y हों, तो x तथा y का स.मा. होगा
(A) a
(B) b
(C) c
(D) a + c
हल :
(B)

प्रश्न 8.
किसी स.श्रे. के n पदों का योगफल 3n² + 5n है। इसका 27वाँ पद है
(A) 160
(B) 162
(C) 164
(D) 166
हल :
(C)

प्रश्न 9.
20 तथा 30 के मध्य 50 समान्तर माध्यों का योगफल है
(A) 1255
(B) 1205
(C) 1250
(D) 1225
हल :
(C)

प्रश्न 10.
गु.श्रे.
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
का सार्वअनुपात है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल :
(A)

प्रश्न 11.
श्रेढ़ी 96, 48, 24, 12, …… \(\frac { 3 }{ 16 }\) में पदों की संख्या है–
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 15
हल :
(B)

प्रश्न 12.
91/3 × 91/9 × 91/27 ×…… ∞ का मान है
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27
हल :
(B)

प्रश्न 13.
श्रेढ़ी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
के अनन्त पदों का योगफल हैं
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल :
(C)

प्रश्न 14.
श्रेणी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
के अनन्त पदों का योगफल है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल :
(B)

प्रश्न 15.
यदि गु.श्रे. का तीसरा पद 2 है, तो उसके प्रथम पाँच पदों का गुणनफल है
(A) 4
(B) 16
(C) 32
(D) 64
हल :
(C)

प्रश्न 16.
n के किस मान के लिए व्यंजक
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
a तथा b के बीच गु.मा. होगा
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) \(-\frac { 1 }{ 2 }\)
हल :
(D)

प्रश्न 17.
यदि a और b के मध्य G1 तथा G2 दो गु.मा. हों, तो G1G2 का मान है
(A) √ab
(B) ab
(C) (ab)²
(D) (ab)³
हल :
(B)

प्रश्न 18.
-9 और 4 के मध्य गु.मा. है
(A) -36
(B) 6
(C) -6
(D) 36
हल :
(C)

प्रश्न 19.
श्रेढ़ी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
है
(A) स.श्रे.
(B) गु.श्रे.
(C) ह.श्रे.
(D) अन्य श्रेणी
हल :
(C)

प्रश्न 20.
श्रेढ़ी
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
का छठा पद है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल :
(B)

प्रश्न 21.
यदि a, b, c, d ह. श्रे. में है, तो सत्य कथन है
(A) ab > cd
(B) ac > bd
(C) ad > bc
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C)

प्रश्न 22.
दो संख्याओं का ह.मा. 4, स.मा. A तथा गु.मा. G है। यदि 2A + G² = 27 है तो संख्याएँ हैं
(A) 6, 4
(B) 8, 2
(C) 8, 6
(D) 6, 3
हल :
(D)

प्रश्न 23.
दो संख्याओं के ह.मी. तथा गु.मा. का अनुपात 12 : 13 है, तो संख्याओं का अनुपात होगा
(A) 1 : 2
(B) 2 : 3
(C) 3 : 5
(D) 4 : 9
हल :
(D)

प्रश्न 24.
यदि दो संख्याओं a तथा b के बीच स.मा., गु.मा. एवं ह.मा. क्रमशः A, G एवं H हों, तो A, G H होंगे
(A) ह.श्रे. में
(B) गु.श्रे. में
(C) स.श्रे. में
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B)

प्रश्न 25.
यदि संख्याएँ a तथा b के बीच ह.मा. H हो, तो \(\frac { H }{ a } +\frac { H }{ b } \) का मान है
(A) 2
(B) \(\frac { a+b }{ 2 }\)
(C) \(\frac { ab }{ 2 }\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A)

प्रश्न 26.
यदि a, b, c है. श्रे. में हों, तो सत्य कथन है
(A) ac = b²
(B) √ac < b
(C) a + c = 2b
(D) √ac > b
हल :
(D)

प्रश्न 27.
यदि किसी श्रेणी का nवाँ पद \(\frac { { n }^{ 2 } }{ { 3 }^{ n } } \) हो, तो अनुक्रम के प्रथम 3 पद लिखिये।
हल :
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
अतः अनुक्रम के तीन पद निम्न होंगे
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 28.
श्रेढी 72, 70, 68, 66,….. का कौनसा पद 40 है ?
हल-
दिया है
प्रथम पद (a) = 72
सार्वअन्तर = 70 – 72 = (-2)
Tn = 40
Tn = a + (n – 1)d
40 = 72 + (n – 1) x (-2)
40 – 72 = (n – 1) x (-2)
\(\frac { -32 }{ -2 }\) = n – 1 ⇒ n – 1 = 16 ∴ n = 17
अतः श्रेढी का 17वाँ पद 40 है।

प्रश्न 29.
यदि एक स.श्रे. में m तथा n पदों के योगफल का अनुपात m² : n² है, तो सिद्ध कीजिए कि mवें तथा nवें पदों का अनुपात (2m – 1) : (2n – 1) होगा।
हल-
दिया है-
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
समी. (3) में m के स्थान पर (2m – 1) और n के स्थान पर (2n – 1) रखने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 30.
यदि किसी समकोण त्रिभुज की भुजाएँ स.श्रे. में हैं, तो उसकी भुजाओं की लम्बाई का अनुपात ज्ञात कीजिए।
[संकेत : (a + d)² = (a – d)² + a² ⇒ \(\frac { a }{ d }\) = 4]
हल-
माना त्रिभुज की भुजाएँ a – d, a, a +d हैं।
(a + d)² = (a – d)² + a²
a² + 2ad + d² = a² – 2ad + d² + a²
a² + 2ad + d² = 2a² – 2ad + d²
a² = 4ad
a = 4d
त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई का अनुपात
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
a – d : a : a + d
4d – d : 4d, 4d + d
या 3d : 4d : 5d
या 3 : 4 : 5

प्रश्न 31.
\(-\frac { 2 }{ 7 }\),a,\(-\frac { 7 }{ 2 }\) गु. श्रे. में हो तो a का मान लिखिए।
हल-
\(-\frac { 2 }{ 7 }\),a,\(-\frac { 7 }{ 2 }\) → GP में हैं।
तब
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 32.
श्रेणी 1 – 1 + 1 – 1 +….. का n पदों तक योगफल लिखिये।
हल-
श्रेणी GP. है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 33.
21/2 . 41/8 . 161/32……. ∞ का लिखिए।
हल-
(2)1/2 . (22)1/8 . (24)1/32 ……∞
(2)1/2. (2)2/8. (2)4/32……. ∞
(2)1/2. (2)1/4. (2)1/8 ……. ∞
(2)1/2+1/4+1/8 + ……. ∞
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 34.
n के किस मान के लिए व्यंजक
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
दो राशियाँ a तथा b का ह.मा. होगा?
हल-
दिया है
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
(an+1 + bn+1)(a + b) = 2ab(an + bn)
an+2 + a.bn+1 + b.an+1 + bn+2 = 2ban+1 + 2abn+1
⇒ an+2 + bn+2 – abn+1 – ban+1 = 0
⇒ a(an+1 – bn+1) – b(an+1 – bn+1) = 0
⇒ (a – b) (an+1 – bn+1) = 0
यदि a – b = 0.
a = b जो कि सम्भव नहीं।
चूँकि a तथा b दो राशियाँ अलग-अलग हैं,
यदि an+1 – bn+1 = 0
an+1 = bn+1
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
आधार समान हैं। घातें भी बराबर होंगी।
अर्थात् n + 1 = 0 ∴ n = -1

प्रश्न 35.
यदि a तथा b के स.मा. और ह.मा. क्रमशः A तथा H हों, तो सिद्ध कीजिए–
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल-
दिया a तथा b का समान्तर माध्य A है।
∴ \(A=\frac { a+b }{ 2 }\) ….(1)
a तथा b का हरात्मक माध्य H है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
अतः L.H.S. = R.H.S. इतिसिद्धम्
अथवा IInd Method :
माना a व b का गु.मा. G है।
G² = ab
∴ AH = G² [∵ G A व H का गुणोत्तर माध्य होता है।]
AH = ab
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 36.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं और b, c, d ह.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि ad = bc होगा।
हल-
a, b, c → A.P में है।
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\) …(1)
b, c, d → H.P. में है।
\(c=\frac { 2bd }{ b+d }\) ….(2)
∴ \(bc=\frac { a+c }{ 2 } .\frac { 2bd }{ b+d } \)
या bc(b + d) = (a + c) . bd
या c(b + d) = (a + c). d
या bc + cd = ad + c . d
या bc = ad इतिसिद्धम्

प्रश्न 37.
यदि a + b + …. + l गुणोत्तर श्रेढ़ी में है, तो सिद्ध कीजिये इसका योग = \(\frac { bl-{ a }^{ 2 } }{ b-a } \)
हल-
a + b + …… + l GP. में हैं।
n वाँ पद
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
इतिसिद्धम्

प्रश्न 38.
अनुक्रम 3, 33, 333, …… के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना
Sn = 3 + 33 + 333 + …… n पद
Sn = 3[1 + 11 + 111 + …… n पद]
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 39.
अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16, 32 तथा अनुक्रम 32, 8, 2, 1/2, 1/8, 1/32 के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम को योगफल ज्ञात कीजिए।
हल-
1 x 32 + 2 x 8 +4 x 2 + 8 x \(\frac { 1 }{ 2 }\) + 16 x \(\frac { 1 }{ 8 }\) + 32 x \(\frac { 1 }{ 32 }\)
32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 63
अथवा
यदि संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम अनन्त तक है।
1 x 32 + 2 x 8 + 4 x 2 + 8 x \(\frac { 1 }{ 2 }\) + 16 x \(\frac { 1 }{ 8 }\) + 32 x \(\frac { 1 }{ 32 }\) + …..
32 + 16 + 8 +4 + 2 + 1 + ……..
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
S∞ = 32 x 2 = 64

प्रश्न 40.
n का मान ज्ञात कीजिये, ताकि
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य है।
हल-
दिया है
a तथा b के मध्य में गुणोत्तर माध्यम
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exerciseहै।
इसलिये
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 41.
यदि G1 तथा G2, a और B के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं तो सिद्ध कीजिये G1G2 = ab
हल-
a, G1, G2, b → GP. में होंगे।
यहाँ पर कुल पद् = 4
प्रथम पद = a
अन्तिम पद = b
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
= a². \(\frac { b }{ a }\) = ab
= RHS
∴ LHS = RHS
इतिसिद्धम्

प्रश्न 42.
यदि दो संख्याओं a तथा b के बीच के समान्तर माध्ये (A.M.) तथा गुणोत्तर माध्य (GM.) में अनुपात m : n है तो सिद्ध कीजिये कि
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise है।
हल-
दिया है
a व b दो राशियाँ हैं।
इनके बीच समान्तर माध्य (A.M.) = \(\frac { a+b }{ 2 }\)
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
अब, उपर्युक्त में योगान्तरानुपात का प्रयोग करने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
पुनः उपर्युक्त में योगान्तरानुपात का प्रयोग करने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
अतः
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
इतिसिद्धम्

प्रश्न 43.
दो संख्याओं का स.मा. 50 तथा ह.मा. 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं।
समान्तर माध्य (A.M.) = \(\frac { a+b }{ 2 }\)
50 = \(\frac { a+b }{ 2 }\)
या a + b = 100 ….(1)
हरात्मक माध्य (H.M.) = \(\frac { 2ab }{ a+b }\)
\(18=\frac { 2ab }{ a+b }\)
या 18(a + b) = 2ab
18 x 100 = 2ab (∵ a + b = 100, समी. (1) से)
या ab = 900 ….(2)
हम जानते हैं (a – b)² = (a + b)² – 4ab
= (100)² – 4 x 900
= 10000 – 3600 = 6400
∴ a – b = 80 ….(3)
समी. (1) तथा (3) को जोड़ने पर
2a = 180 ∴ a = \(\frac { 180 }{ 2 }\)
a = 90
a का मान समी. (1) में रखने पर
90 + b = 100 ∴ b = 10
अतः संख्याएँ 90, 10 हैं।

प्रश्न 44.
दो संख्याओं के स.मा. तथा गु.मा. को अन्तर 2 है, गु.मी. तथा ह.मा. का अन्तर 1.2 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं तथा उनके मध्य स.मा., गु.मा. एवं
ह.मा. क्रमशः A, G व H है।
प्रश्नानुसार A – G = 2 ….(1)
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
5AH = (G + 2) (5G – 6)
5G² = 5G² – 6G + 10G – 12
4G = 12 ⇒ G = 3
G का मान समी. (1) में रखने पर
A = 3 + 2 = 5
अब A व G के मान समी. (३) व समी. (4) में रखने पर
a + b = 2 x 5 = 10 …..(5)
ab = (3)² = 9 …..(6)
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
⇒ a – b = 8 ……(7)
समी. (5) व समी. (7) को जोड़ने पर
2a = 18 ⇒ a = 9
समी. (5) में a का मान रखने पर
9 + b = 10 ⇒ b = 1
अतः अभीष्ट संख्याएँ 9 व 1 हैं।

प्रश्न 45.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, x, y, z है.श्रे. में हैं तथा ax, by, cz गु.श्रे. में है, तो सिद्ध कीजिये
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
हल-
दिया है- 2b = a + c ….(1)
\(y=\frac { 2xz }{ x+z }\) ……(2)
b²y² = ax . cz ….(3)
सिद्ध करना है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
समी. (1) तथा (2) को गुणा करने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
दोनों ओर का वर्ग करने पर
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise

प्रश्न 46.
दो धनात्मक राशियों / तथा 6 के मध्य दो से.मी. A1, A2, दो गु.मी. G1, G2 तथा दो ह.मा. H1, H2 हो तो सिद्ध कीजिए
A1H2 = A2H1 = G1G2 = ab
हल-
दिया है a व b के मध्य दो स.मी. A1 व A2 है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
a व b के मध्य दो ह.मा. H1 व H2 हैं।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
a वे b के मध्य दो गु.मा. हैं।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
यहाँ पर A1 व H2 का मान रखा गया है।
RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Miscellaneous Exercise
इतिसिद्धम्

RBSE Solutions for Class 11 Maths

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.8

June 15, 2019 by Prasanna Leave a Comment

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.8

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.8

प्रश्न 1.
दो संख्याओं का स.मा. 50 तथा ह.मा. 18 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना संख्याएँ a तथा b हैं।
तब प्रश्नानुसार स.मा. = 50
∴ \(\frac { a+b }{ 2 }=50\)
या a + b = 100 …. (1)
ह.मा. = 18
∴ \(\frac { 2ab }{ a+b }=18\)
या 2ab = 18(a + b)
या ab = 9(a + b) ..(2)
समी. (1) से मान रखने पर
ab = 9 x 100 = 900
∴ ab = 900 ….(3)
हम जानते हैं
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a – b)² = (100)2 – 4 x 900
= 10000 – 3600 = 6400
∴ a – b = 80. ….(4)
समी. (1) तथा (4) को जोड़ने पर
a + b + a – b = 100 + 80 = 180
या 2a = 180
∴ a = 90
a का मान समी. (1) में रखने पर
90 + b = 100
∴ b = 10
अतः दी गई संख्याएँ = 90, 10 हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो संख्याओं के ह.मा. और गु.मी. में अनुपात 12 : 13 हो, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याओं में अनुपात 4 : 9 है।
हल-
माना दो राशियाँ a व b हैं तथा उनके ह.मा. व गु.मा. क्रमशः
H व G है।
दिया है
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योगान्तर अनुपात नियम से
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धनात्मक चिह्न लेने पर
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पुनः योगान्तर अनुपात नियम से
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अतः संख्याओं का अनुपात = 9 : 4
अब ऋणात्मक चिह्न लेने पर
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योगान्तर अनुपात से
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अतः संख्याओं a व b का अनुपात = 4 : 9
अतः अभीष्ट संख्याओं का अनुपात = 4 : 9 या 9 : 4 होगा।

प्रश्न 3.
दो संख्याओं के स.मा. तथा गु.मा. को अन्तर 2 है, गु.मी. तथा ह.मा. का अन्तर 1.2 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना दो संख्याएँ a व b हैं तथा उनके मध्य स.मा., गु.मा. एवं
ह.मा. क्रमशः A, G व H है।
प्रश्नानुसार,
A = G + 2 ….(1)
एवं H = G – 1.2
H = G – \(\frac { 6 }{ 5 }\) …(2)
\(\frac { a+b }{ 2 }\) = A ⇒ a + b = 2A …(3)
ab = G² …(4)
समी. (1) व समी. (2) का गुणा करने पर
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5G² = (G + 2)(5G – 6)
5G² = 5G² – 6G + 10G – 12
4G = 12 ⇒ G = 3
G का मान समी. (1) में रखने पर
A = 3 + 2 = 5
अब A व G के मान समी. (3) व समी. (4) में रखने पर।
a + b = 2 x 5 = 10 ….(5)
ab = (3)² = 9 ….(6)
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⇒ a – b = 8 ….(7)
समी. (5) व समी. (7) को जोड़ने पर।
2a = 18 ⇒ a = 9
समी. (5) में a का मान रखने पर।
a + b = 10 ⇒ b = 1
अभीष्ट संख्याएँ 9 व 1 हैं।

प्रश्न 4.
तीन राशियाँ a, b, c गु.श्रे. में हैं तथा ax = by = cz है, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z ह.श्रे. में होंगे।
हल-
दिया है-
a, b, c गु.श्रे. में है। इसलिए
b² = ac ……(1)
तथा ax = by = cz = k (माना)
∴ a = (k)1/x
b = (k)1/y
c = (k)1/z
समी. (1) में मान रखने पर
(k1/y)2 = k1/x (k)1/z
k2/x = (k)1/x+1/z
आधार समान है। इसलिए घातें भी बराबर होंगी। इसलिए
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इसलिए हम कह सकते हैं कि x, y, z ह.श्रे. में होंगे।

प्रश्न 5.
तीन राशियाँ a, b, c ह.श्रे. में हैं। सिद्ध कीजिए कि 2a – b, b, 2c – b गु.श्रे. में होंगे।
हल-
माना कि 2a – b, b, 2c – b गु. श्रे. में है। इसलिए
(b)² = (2a – b) x (2c – b) (सूत्र b² = ac से)
b² = 4ac – 2ab – 2bc + b²
2ab + 2bc = 4ac
2b(a + c)= 4ac
या b(a + c) = 2ac
या \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
अतः कहा जा सकता है कि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे
जबकि 2a – b, b, 2c – b गु. श्रेढ़ी में है।

प्रश्न 6.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, x, y, z ह.श्रे. में हैं तथा ax, by, cz गु.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए।
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हल-
दिया है 2b = a + c ….(1)
\(y=\frac { 2xz }{ x+z }\) ….(2)
b²y² = ax.cz ….(3)
सिद्ध करना है
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प्रश्न 7.
दो धनात्मक राशियों a तथा b के मध्य दो स.मा. A1, A2, दो गु.मा. G1, G2, तथा दो ह.मा. H1, H2, हो, तो सिद्ध कीजिए-
(i) A1H2 = A2H1 = G1G2 = ab
(ii) G1G2 : H1H2 = (A1 + A2) : (H1 + H2)
हल-
(i) दिया है a व b के मध्य दो स.मा. A1 व A2 हैं।
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a व B के मध्य दो ह.मा. H1 व H2 हैं।
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a व b के मध्य दो गु.मा. हैं।
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हमें सिद्ध करना है
A1H2 = A2H1 = G1G2 = ab
अब हम प्राप्त करेंगे
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A1H2 = A2H1 = G1G2

(ii) L.H.S. = G1G2 : H1H2
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समी. (1) व समी. (2) से
L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 8.
यदि a, b, c स.श्रे. में हैं, b, c, d गु. श्रे. में हैं तथा c, d, e ह.श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए कि a, c, e गु.श्रे. में होंगे।
हल-
दिया है- a, b, c स.श्रे. में हैं।
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\)….(1)
b, c, d गु.श्रे. में हैं।
∴ c² = bd ….(2)
c, d, e ह.श्रे. में हैं।
\(d=\frac { 2ce }{ c+e }\) ……(3)
समी. (2) में समी. (1) तथा (3) का मान रखने पर
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⇒ c² + ec = ae + ce
⇒ c² = ae
अर्थात् a, c, e गु.श्रे. में होंगे। इतिसिद्धम्

प्रश्न 9.
यदि तीन राशियाँ a, b, c स.श्रे. तथा ह.श्रे. दोनों में हों, सिद्ध कीजिए कि वे गु.श्रे. में भी होंगी।
हल-
दिया है-तीन राशियाँ a, b, c स.श्रे. तथा ह.श्रे. दोनों में इसलिए प्रश्नानुसार लिखा जा सकता है|
∴ \(b=\frac { a+c }{ 2 }\) …(1)
\(b=\frac { 2ac }{ a+c }\) ….(2)
समी. (1) तथा (2) को बराबर करने पर
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∴ b² = ac
अर्थात् a, b, c गु.श्रे. में भी होंगी। इतिसिद्धम्

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June 15, 2019 by Prasanna Leave a Comment

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प्रश्न 1.
निम्नलिखित हरात्मक श्रेढ़ियों के सम्मुख दिया गया पद ज्ञात कीजिए
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हल
(i)
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∴ 2, 5, 8, 11 A.P में होंगे।
A.P का 6 वाँ पद् T6 = 4 + 5d ….(1)
यहाँ पर a = 2, d = 5 – 2 = 3
समी. (1) में मान रखने पर।
T6 = 2 + 5 x 3 = 2 + 15 = 17
अत: HP का 6वाँ पद = \(\frac { 1 }{ 17 }\) होगा।

(ii)
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∴ 9, 19, 29, 39 A.P में होंगे।
A.P. का 18वाँ पद T18 = a + 17d
यहाँ पर a = 9, सार्वअन्तर d = 19 – 9 = 10
इसलिए A.P का T18 = 9 + 17 x 10
= 9 + 170 = 179
इसलिए हरात्मक श्रेढ़ी का 18वाँ पद = \(\frac { 1 }{ 179 }\) होगा।

(iii)
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यहाँ पर प्रथम पद a = 14, सार्वअन्तर = \(\frac { 29 }{ 2 }-14\) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
इसलिए A.P. का 10वाँ पद
T10 = 1 + 9d
a तथा d का मान रखने पर
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अतः H.P. का 10वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 37 }\)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित ह. श्रे. के n वें पद ज्ञात कीजिए
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हल-
(i)
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(ii)
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प्रश्न 3.
वह ह. श्रे. ज्ञात कीजिये जिसका दूसरा पद \(\frac { 2 }{ 5 }\) तथा सातवाँ पद \(\frac { 4 }{ 25 }\) है।
हल-
दिया है
HP का दूसरा पद = \(\frac { 2 }{ 5 }\)
इसलिए A.P. का दूसरा पद = \(\frac { 5 }{ 2 }\) होगा।
इसी तरह से A.P. का सातवाँ पद = \(\frac { 25 }{ 4 }\)
प्रश्नानुसार
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प्रश्न 4.
यदि एक ह. श्रे. का 7वाँ पद \(\frac { 17 }{ 2 }\) एवं 11वाँ पद \(\frac { 13 }{ 2 }\) हो, तो उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिये।
हल-
दिया है
H.P. का 7वाँ पद = \(\frac { 17 }{ 2 }\)
तथा H.P. का 11वाँ पद = \(\frac { 13 }{ 2 }\)
इसलिये इसके संगत।
A.P. का 7वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 17 }\) होगा।
और 11वाँ पद = \(\frac { 2 }{ 13 }\) होगा।
प्रश्नानुसार
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समी. (1) में से (2) को घटाने पर।
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d का मान समी. (1) में रखने पर
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समान्तर श्रेढी का 20वाँ पद
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इसलिए हरात्मक श्रेढ़ी का 20वाँ पद = \(\frac { 17 }{ 4 }\) होगा।

प्रश्न 5.
ज्ञात कीजिए
(i) 1 तथा \(\frac { 1 }{ 16 }\) के मध्य 4 ह.मा.
(ii) \(\frac { 1 }{ 19 }\) तथा \(\frac { 1 }{ 7 }\) के मध्य 5 ह.मा.
(iii) \(-\frac { 2 }{ 5 }\) तथा \(\frac { 4 }{ 25 }\) के मध्य एक ह.मा
हल-
(i) माना कि 1 तथा \(\frac { 1 }{ 16 }\) के मध्य ह.मा. H1, H2, H3, H4, हैं।
अतः 1, H2, H3, H4, H5, \(\frac { 1 }{ 16 }\) ह. श्रे. में हैं।
संगत स. श्रे. का प्रथम पद 1 तथा छठा पद 16 होगा।
a + 5d = 16 ….(1)
∴ 1 + 5d = 16 ⇒ 5d = 15 ⇒ d = 3
अतः 1 तथा 16 के मध्य चार स. मा. निम्नलिखित होंगे-
a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d
1 + 3, 1 + 2 x 3, 1 + 3 x 3, 1 + 3 x 4
या 4, 7, 10, 13
अत: अभीष्ट ह.मा.
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होंगे।

(ii) माना कि \(\frac { 1 }{ 19 }\) तथा \(\frac { 1 }{ 7 }\) के मध्य ह. मा. H1, H2, H3, H4, H5, हैं।
अतः \(\frac { 1 }{ 19 }\), H1, H2, H3, H4, H5, \(\frac { 1 }{ 7 }\) हरात्मक श्रेढ़ी में है।
संगत समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a = 19,
सातवाँ पद = 7
T7 = a + 6d = 7
19 + 6d = 7
या 6d = 7 – 19 = – 12
d = \(\frac { -12 }{ 6 }\) = -2
अतः 19 तथा 7 के मध्य पाँच समान्तर माध्य निम्नलिखित हैं
a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, a + 5d
19 – 2, 19 – 2 x 2, 19 – 3 x 2, 19 – 4 x 2,
19 – 5 x 2
17, 15, 13, 11 तथा 9
अतः अभीष्ट हरात्मक माध्य
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होंगे।

(iii) \(-\frac { 2 }{ 5 }\) तथा \(\frac { 4 }{ 25 }\) के मध्य एक ह. मा.
\(-\frac { 2 }{ 5 }\), H, \(\frac { 4 }{ 25 }\)
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प्रश्न 6.
यदि ह. श्रे. का pवाँ, qवाँ तथा rवाँ पद क्रमशः a, b, c हैं, तो सिद्ध कीजिए-
bc(q – r) + ca(r – p) + ab(p – q) = 0
हल-
दिया है
हरात्मक श्रेढ़ी के लिए।
Tp = a, Tq = b, Tr = c
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यहाँ A संगत स. श्रे. का प्रथम पद तथा d सार्वअन्तर हैं।
a, b, c के मान (p – q)ab + (q – r)bc + (r – p)ac में रखने पर।
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⇒ (q – r)[A + (p – 1)] + (r – p)[A + (q – 1)d] + (p – q)[A + (r – 1)d.
कोष्ठकों को हल करने पर
A[q – r + r – p + p – q] + d[(q – r) (p – 1) + (r – p) (q – 1) + (p – q) (r – 1)]
A x 0 + d[qp – q – rp + r + rq – r – pq + p + pr – p – qr + q]
A x 0 + d x 0 = 0
यहाँ प्रत्येक पद के संगत ऋणात्मक पद उपस्थित हैं।
अतः इसको मान शून्य के बराबर होता है।
∴ bc(q – r) + ca(r – p) + ab(p – q) = 0 इतिसिद्धम्।

प्रश्न 7.
यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिये कि a, a – c, a – b, ह. श्रे. में होंगे।
हल-
माना
a, a – c, a – b H.P. में है।
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अर्थात्
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ac – bc = ab – ac
या ac + ac = ab + bc
2ac = b(a + c)
या \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
अर्थात् a, b, c H.P. में होंगे । इतिसिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि a, b, c ह. श्रे. में हैं, तो सिद्ध कीजिए
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हल-
L.H.S.
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यहाँ पर a, b, c H.P. में हैं ∴ \(b=\frac { 2ac }{ a+c }\)
b का मान रखने पर
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प्रश्न 9.
समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का ह. मो. ज्ञात कीजिये।
हल-
माना समीकरण
ax² + bx + c= 0 के मूल α तथा β हैं। इसलिए
α + β = \(-\frac { b }{ a }\)
αβ = \(\frac { c }{ a }\)
मूल α तथा β को हरात्मक माध्य
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प्रश्न 10.
यदि किसी ह. श्रे. का pवाँ पद q तथा qवाँ पद p हो, तो सिद्ध कीजिये कि उसका (p + q)वाँ पद \(\frac { pq }{ p+q }\) होगा।
हल-
H.P. का pव पद = q
∴ A.P. का pवाँ पद = \(\frac { 1 }{ q }\)
H.P. का qवाँ पद = p
∴ A.P. का qवाँ पद = \(\frac { 1 }{ p }\)
प्रश्नानुसार
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हमें यहाँ पर H.P. का (p + q)वाँ पद ज्ञात करना है।
इसके संगत A.P का Tp+q = a + (p + q – 1)d
a तथा d का मान रखने पर
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अतः A.P. का (p + q)वाँ पद का मान = \(\frac { p+q }{ pq }\)
इसलिए HP. का (p + q)वाँ पद का मान \(\frac { pq }{ p+q }\) होगा।
इतिसिद्धम्

प्रश्न 11.
यदि समीकरण a(b – c)x² + b(c – a)x + c(a – b) = 0 के मूल समान हों, तो सिद्ध कीजिये कि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में होंगे।
हल-
दिया है—a(b – c)x² + b(c – q) + c(a – b) = 0 के मूल समान हैं। मूल समान होने के लिए विवेचक
B² – 4AC = 0
यहाँ A = a(b – c), B = b(c – a), C = c(a – b)
इसलिए [b(c – a)]² – 4a(b – c) . c(d – b) = 0
b²(c – a)² – 4ac(b – c) (d – b) = 0
b²(c² + a² – 2ac) – 4ac(ab – b² – ac + cb) = 0
b²(c² + a – 2ac) – 4a²bc + 4acb² + 4a²c² – 4ac²b = 0
b²[c² + a² – 2ac + 4ac] – 4a²cb – 4ac²b + 4a²c² = 0
b²(c + a)² – 4acb(a + c) + (2ac)² = 0
[b(c + a)] – 2(2ac)[b(a + c)] + (2ac)² = 0
[b(c + a) – 2ac]² = 0
b(c + a) – 2ac = 0
⇒ b = \(\frac { 2ac }{ a+c }\) ⇒ a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में हैं। इतिसिद्धम्

प्रश्न 12.
यदि एक छात्र अपने घर से विद्यालय 8 किमी. प्रति घं. की गति से जाता है तथा 6 किमी. प्रति घं. की गति से लौटता है, तो उसकी औसत गति ज्ञात कीजिए जबकि घर से विद्यालय की दूरी 6 किमी. है। अपने उत्तर की जाँच भी कीजिए।
हल-
यहाँ a = 8 किमी. प्रति घण्टा
तथा b = 6 किमी. प्रति घण्टा
इसलिए
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सत्यापन-घर से विद्यालय 6 किमी. दूरी तय करने का समय
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June 15, 2019 by Prasanna Leave a Comment

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प्रश्न 1.
उस श्रेणी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये जिसका n वाँ पद है
(i) 3n² + 2n + 5
(ii) 4n³ + 7n +1
(iii) n(n + 1) (n + 2)
हल-
(i) प्रश्नानुसार
Tn = 3n² + 2n + 5
दिये हुए n पदों का योग
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(ii) प्रश्नानुसार
Tn = 4n³ + 7n + 1
दिये हुए n पदों का योग
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(iii) प्रश्नानुसार
Tn = n(n + 1) (n + 2)
Tn = n(n² + 3n + 2)
= n³ + 3n² + 2n
दिये हुए n पदों का योग
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प्रश्न 2.
निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 3² + 7² + 11² + 15² + ……….
(ii) 2³ + 5³ + 8³ + 11³ + ………..
(iii) 1.2² + 2.3² + 3.4² + ………..
हल-
(i) यहाँ पर श्रेणी का n वाँ पद T, है।
Tn = (3 + (n – 1) × 4)²
चूँकि श्रेढी समान्तर क्रम है
= (3 + 4n – 4)² = (4n – 1)²
Tn = 16n² – 8n +1
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(ii) दी गयी श्रेणी का वाँ पद T, है।
Tn = [2 + (7 – 1) x 3]³
चूंकि श्रेढी समान्तर है।।
Tn = (3n – 1)³
= (3n)³ – (1)³ – 3 x 3n x 1(3n – 1)
Tn = 27n³ – 1 – 27n + 9n
Tn = 27n³ – 27n + 9n – 1
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(iii) 1.2² + 2.3² + 3.4² + ………
दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
Tn = n.[2 + (n – 1) x 1]²
∵ श्रेणी समान्तर क्रम में है।
= [n + 1]² = n(n² + 2n + 1)
Tn = n³ + 2n² + n
∴ ∑Tn = Sn = ∑n3 + 2∑n2 + ∑n
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प्रश्न 3.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 1.3 + 3.5 + 5.7 + ……
(ii) 1.2.4 + 2.3.7 + 3.4.10 + ………
हल-
(i) दी हुई श्रेणी दो समान्तर श्रेढ़ियों से मिलकर बनी हुई है, दोनों का अलग-अलग Tn वाँ पद निकाल कर संयुक्त श्रेणी, का Tn वाँ पद निकालने पर
Tn = (2n – 1) (2n + 1)
Tn = (2n)² – (1)² = 4n² – 1
∴ ∑Tn = Sn = 4∑n² – ∑1
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(ii) दी हुई श्रेणी तीन समान्तर श्रेणियों से मिलकर बनी हुई है। तीनों का अलग-अलग Tn वाँ पद निकालकर संयुक्त श्रेणी का Tn वाँ पद निकालने पर
Tn = n(n + 1) (3n + 1)
n(3n² + 4n + 1)
Tn = 3n³ + 4n² + n
∴ ∑Tn = Sn = 3∑n³ + 4∑n² + ∑n
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प्रश्न 4.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिये
(i) 3 + 8 + 15 + 24 + ……….
(ii) 1 + 6 + 13 + 22 + ………
हल-
(i) दी गई श्रेणी के क्रमागत पद युग्मों का अन्तर 5, 7, 9, …… स. श्रे. में है। अतः इसका n वाँ पद तथा n पदों का योगफल अन्तर विधि से ज्ञात करेंगे।
माना कि श्रेणी का n वाँ पद Tn तथा n पदों को योगफल Sn है। तब
Sn = 3 + 8 + 15 + 24 +…….. + Tn…..(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर
Sn = 3 + 8 + 15 +……. + Tn-1 + Tn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर।
0 = 3 + {5 + 7 + 9 +……. + (n – 1) पद} – Tn
या Tn = 3 + {5 + 7 + 9 + ……. + (n – 1) पद}
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= n(n + 1) (2n + 1 + 6)
Sn = n(n + 1) (2n +7)

(ii) दी गई श्रेणी के क्रमागत पद युग्मों का अन्तर 5, 7, 9, ….. स. श्रे. में है। अतः इसका n वाँ पद तथा n पदों का योगफल अन्तर विधि से ज्ञात करेंगे।
माना कि श्रेणी का n वाँ पद Tn तथा n पदों का योगफल Sn है। तब
Sn = 1 + 6 + 13 + 22 + …… + Tn …..(1)
एक स्थान आगे बढ़ाकर लिखने पर।
Sn = 1 + 6 + 13 + 22 + ….. + Tn-1 + Tn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
0 = 1 + {5 + 7 + 9 +……. + (n – 1) पद}- Tn
या’ Tn = 1 + {5 + 7 + 9 + …… + (n – 1) पद्}
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प्रश्न 5.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए
(i) 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) +……
(i) 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) +……….
हल-
(i) दी गयी श्रेणी का नावाँ पद
Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + ……. n पद
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(ii) दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
Tn = 1² + 2² + 3² + …….. n²
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चूँकि हम जानते हैं—प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योगफल
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RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.5

June 15, 2019 by Prasanna Leave a Comment

RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.5

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित श्रेणियों का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
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हल-
(i) दी गयी श्रेणी
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एक समान्तरीय गु. श्रे. है अतः दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
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श्रेणी (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 2 }\) का गुणा कर एक पद आगे बढ़ाकर लिखने पर।
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(ii) दी गयी श्रेणी 1 + 3x + 5x² + 7x³ +…….. n पदों तक
एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn [a + (n – 1)d] [ARn-1] से।
यहाँ दिया है– a = 1, d = 2, A = 1, R = x है।
∴ Tn = [1 + (n – 1)2] [1.xn-1]
Tn = (2n – 1)xn-1
अतः S = 1 + 3x + 5x² + 7x³ + …… (2n – 1)xn-1 ….(1)
श्रेणी (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणा करने पर
xS = x + 3x² + 5x³ +…… (2n – 3)xn-1 + (2n – 1)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
S(1 – x) = 1 + 2x + 2x² + 2x³ +….. + 2xn-1 – (2n – 1)n
S(1 – x) = 1 + 2[x + x² + x³ +……. (n – 1) पदों तक] – (2n – 1)xn
यहाँ पर a = x, r = x, n = n – 1
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(iii)
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यहाँ पर A.P. का 7वाँ पद (-1)n-1 n
और GP का 7वाँ पद 5.5n-1 = 5n
माना
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गु. श्रे. का सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 5 }\) से गुणा करके आगे एक पद खिसकाकर लिखने पर
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दोनों को जोड़ने पर
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अतः श्रेणी का योग
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प्रश्न 2.
निम्नलिखित श्रेणियों का अनन्त पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
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हल-
(i) माना
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गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 3 }\) से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर
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(ii) माना
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गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 3 }\) से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर
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(iii) 1 – 2x + 3x² – 4x³ + ……. |x| < 1
माना S = 1 – 2x + 3x² – 4x³ +……, |x| < 1
गु. श्रे. के सार्वअनुपात x से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर।
xS = x – 2x² + 3x² ……
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प्रश्न 3.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए-
(i) 2 + 5 + 14 + 41+ 122 + …….
(ii) 3.2 + 5.2² + 7.2³ + ….
(iii) 1 + 4x + 2x² + 10x³ + ……
हल-
(i) दी गयी श्रेणी 2 + 5 + 14 + 41 + 122 + ….. में स्पष्ट है कि इस श्रेणी के क्रमागत पदों का अन्तर 5 – 2 = 3, 14 – 5 = 9, 41 – 14 = 27 अर्थात् 3, 9, 27 ……… GP. में है|
माना दी गयी श्रेणी का योग S व n वाँ पद Tn है। माना
S = 2 + 5 + 14 + 41 + …… Tn ….(1)
एक पद आगे बढ़ाकर लिखने पर
S = 2 + 5 + 14 +…… Tn+1 + Tn ….(2)
समी. (1) में से समी. (2) घटाने पर
0 = 2 + 3 + 9 + 27 + ……. n पदों तक – Tn
∴ Tn = 2 + [3 + 9 + 27 +…… (n – 1) पदों तक]
यहाँ a = 3, r = 3, n = n – 1
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(ii) 3.2 + 5.2² + 7.2³ + …….
दी गयी श्रेणी
3.2 + 5.2² + 7.2³ + ……………. n पदों तक
एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
यहाँ a = 3, d = 2, A = 2, R = 2
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)4] [ARn-1]
Tn = [3 + (n – 1)2][2. 2n-1]
Tn = (2n + 1)2n
अतः S = 3.2 + 5.22 + 7.23 + …. (2n + 1)2n ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात को गुणा कर एक पद खिसका कर लिखने पर।
2S = 3.22 + 5.23 + …… (2n – 1)2n + (2n + 1)2n+1 ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
-S = 3.2 + 2.22 + 2.23 + …… 2.2n – (2n + 1)n+1
-S = 6 + [23 + 24 +…… 2n+1]- (2n + 1).2n+1
यहाँ a = 23, r = 2, n = n – 1
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दोनों पक्षों में (-) का गुणा करने पर।
S = 2 – 2.2n+1 + (2n + 1)2n+1
= (2n – 1). 2n+1 + 2

(iii) 1 + 4x + 7x² + 10x³ + ………..
दी गयी श्रेणी 1 + 4x + 7x² + 10x³ + ….. n पदों तक एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)d] [ARn-1] से
यहाँ a = 1, d = 3 तथा A = 1, R = x
Tn = [1 + (n – 1) x 3] [1 . xn-1]
Tn = (3n – 2)xn-1
अतः
S = 1 + 4x + 7x2 + 10x3 + ….. (3n – 2)n-1 ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणा करने पर
xS = x + 4x2 + 7x3 + ……. (3n – 5)xn-1 + (3n – 2)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
(1 – x)S = 1 + 3x + 3x2 + 3x3 +…… 3.xn-1 – (3n – 2)xn
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प्रश्न 4.
श्रेणी 2 + 5x + 8x² + 11x³ +……. का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए तथा इससे अनन्त श्रेणी के योगफल का भी निगमन कीजिए, यदि |x| < 1.
हल-
दी गयी श्रेणी
2 + 5x + 8x² + 11x³ +……. n पदों तक एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)d] [ARn-1] से
यहाँ a = 2, d = 3 तथा A = 1, R = x
Tn = [2 + (n – 1) x 3] [1 . xn-1]
Tn = (3n – 1)xn-1
अतः S = 2 + 5x + 8x² + 11x³ +….. + (3n – 1)xn-1 ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणी करके एक पद
आगे की ओर लिखने पर
xS = 2x + 5x² + 8x³ +…… + (3n – 4)xn-1 + (3n – 1)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
S – xS = 2 + 3x + 3x2 + 3x3 + …… 3.xn-1 – (3n – 1)xn
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यहाँ पर दिया गया है |x| < 1 तथा श्रेणी में पदों की संख्या अनन्त है, तब xn → 0
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