Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Ex 8.5
प्रश्न 1.
निम्नलिखित श्रेणियों का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
हल-
(i) दी गयी श्रेणी
एक समान्तरीय गु. श्रे. है अतः दी गयी श्रेणी का n वाँ पद
श्रेणी (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 2 }\) का गुणा कर एक पद आगे बढ़ाकर लिखने पर।
(ii) दी गयी श्रेणी 1 + 3x + 5x² + 7x³ +…….. n पदों तक
एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn [a + (n – 1)d] [ARn-1] से।
यहाँ दिया है– a = 1, d = 2, A = 1, R = x है।
∴ Tn = [1 + (n – 1)2] [1.xn-1]
Tn = (2n – 1)xn-1
अतः S = 1 + 3x + 5x² + 7x³ + …… (2n – 1)xn-1 ….(1)
श्रेणी (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणा करने पर
xS = x + 3x² + 5x³ +…… (2n – 3)xn-1 + (2n – 1)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
S(1 – x) = 1 + 2x + 2x² + 2x³ +….. + 2xn-1 – (2n – 1)n
S(1 – x) = 1 + 2[x + x² + x³ +……. (n – 1) पदों तक] – (2n – 1)xn
यहाँ पर a = x, r = x, n = n – 1
(iii)
यहाँ पर A.P. का 7वाँ पद (-1)n-1 n
और GP का 7वाँ पद 5.5n-1 = 5n
माना
गु. श्रे. का सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 5 }\) से गुणा करके आगे एक पद खिसकाकर लिखने पर
दोनों को जोड़ने पर
अतः श्रेणी का योग
प्रश्न 2.
निम्नलिखित श्रेणियों का अनन्त पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए
हल-
(i) माना
गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 3 }\) से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर
(ii) माना
गु. श्रे. के सार्वअनुपात \(\frac { 1 }{ 3 }\) से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर
(iii) 1 – 2x + 3x² – 4x³ + ……. |x| < 1
माना S = 1 – 2x + 3x² – 4x³ +……, |x| < 1
गु. श्रे. के सार्वअनुपात x से गुणा करने पर और एक पद छोड़कर लिखने पर।
xS = x – 2x² + 3x² ……
प्रश्न 3.
निम्नलिखित श्रेणियों का n वाँ पद तथा n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए-
(i) 2 + 5 + 14 + 41+ 122 + …….
(ii) 3.2 + 5.2² + 7.2³ + ….
(iii) 1 + 4x + 2x² + 10x³ + ……
हल-
(i) दी गयी श्रेणी 2 + 5 + 14 + 41 + 122 + ….. में स्पष्ट है कि इस श्रेणी के क्रमागत पदों का अन्तर 5 – 2 = 3, 14 – 5 = 9, 41 – 14 = 27 अर्थात् 3, 9, 27 ……… GP. में है|
माना दी गयी श्रेणी का योग S व n वाँ पद Tn है। माना
S = 2 + 5 + 14 + 41 + …… Tn ….(1)
एक पद आगे बढ़ाकर लिखने पर
S = 2 + 5 + 14 +…… Tn+1 + Tn ….(2)
समी. (1) में से समी. (2) घटाने पर
0 = 2 + 3 + 9 + 27 + ……. n पदों तक – Tn
∴ Tn = 2 + [3 + 9 + 27 +…… (n – 1) पदों तक]
यहाँ a = 3, r = 3, n = n – 1
(ii) 3.2 + 5.2² + 7.2³ + …….
दी गयी श्रेणी
3.2 + 5.2² + 7.2³ + ……………. n पदों तक
एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
यहाँ a = 3, d = 2, A = 2, R = 2
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)4] [ARn-1]
Tn = [3 + (n – 1)2][2. 2n-1]
Tn = (2n + 1)2n
अतः S = 3.2 + 5.22 + 7.23 + …. (2n + 1)2n ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात को गुणा कर एक पद खिसका कर लिखने पर।
2S = 3.22 + 5.23 + …… (2n – 1)2n + (2n + 1)2n+1 ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
-S = 3.2 + 2.22 + 2.23 + …… 2.2n – (2n + 1)n+1
-S = 6 + [23 + 24 +…… 2n+1]- (2n + 1).2n+1
यहाँ a = 23, r = 2, n = n – 1
दोनों पक्षों में (-) का गुणा करने पर।
S = 2 – 2.2n+1 + (2n + 1)2n+1
= (2n – 1). 2n+1 + 2
(iii) 1 + 4x + 7x² + 10x³ + ………..
दी गयी श्रेणी 1 + 4x + 7x² + 10x³ + ….. n पदों तक एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)d] [ARn-1] से
यहाँ a = 1, d = 3 तथा A = 1, R = x
Tn = [1 + (n – 1) x 3] [1 . xn-1]
Tn = (3n – 2)xn-1
अतः
S = 1 + 4x + 7x2 + 10x3 + ….. (3n – 2)n-1 ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणा करने पर
xS = x + 4x2 + 7x3 + ……. (3n – 5)xn-1 + (3n – 2)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
(1 – x)S = 1 + 3x + 3x2 + 3x3 +…… 3.xn-1 – (3n – 2)xn
प्रश्न 4.
श्रेणी 2 + 5x + 8x² + 11x³ +……. का n पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए तथा इससे अनन्त श्रेणी के योगफल का भी निगमन कीजिए, यदि |x| < 1.
हल-
दी गयी श्रेणी
2 + 5x + 8x² + 11x³ +……. n पदों तक एक समान्तरीय गु. श्रे. है।
अब सूत्र Tn = [a + (n – 1)d] [ARn-1] से
यहाँ a = 2, d = 3 तथा A = 1, R = x
Tn = [2 + (n – 1) x 3] [1 . xn-1]
Tn = (3n – 1)xn-1
अतः S = 2 + 5x + 8x² + 11x³ +….. + (3n – 1)xn-1 ….(1)
समी. (1) में गु. श्रे. के सार्वअनुपात x का गुणी करके एक पद
आगे की ओर लिखने पर
xS = 2x + 5x² + 8x³ +…… + (3n – 4)xn-1 + (3n – 1)xn ….(2)
समी. (1) में से (2) को घटाने पर
S – xS = 2 + 3x + 3x2 + 3x3 + …… 3.xn-1 – (3n – 1)xn
यहाँ पर दिया गया है |x| < 1 तथा श्रेणी में पदों की संख्या अनन्त है, तब xn → 0
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